Descreva e esboce o domínio de cada função.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos descrever e esboçar o domínio dessa função. O conteúdo envolvido aqui é o domínio de funções e a função arco seno (
). Para resolver, vamos lembrar que a função
só está definida para valores entre -1 e 1. Então, precisamos encontrar todos os pares
que fazem com que
esteja dentro desse intervalo.
Passo 2
Vamos começar identificando a condição para que
esteja definida. Sabemos que:
Isso significa que o argumento de
deve ser maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1.
Passo 3
Agora, vamos resolver as duas desigualdades separadamente.
Primeiro:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Como
é sempre maior ou igual a 0 (já que quadrados de números reais são não negativos), essa desigualdade sempre será verdadeira. Portanto, não impõe restrições adicionais.
Passo 4
Segundo:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Aqui, temos um problema: a soma de quadrados
é sempre não negativa, ou seja,
. Mas estamos tentando que ela seja menor ou igual a -1, o que é impossível.
Passo 5
Como a segunda desigualdade não pode ser satisfeita por nenhum par
real, concluímos que não existem valores de
e
que tornam a expressão
válida para a função
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto vazio, ou seja, não existem valores reais de
e
que tornam a função definida.
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Encontre
, se
e
.
Encontre
se
e
.
Descreva e esboce o domínio de cada função.