Descreva e esboce o domínio de cada função. z = arcsen(x^2 + y^2 + 2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos descrever e esboçar o domínio dessa função. O conteúdo envolvido aqui é o domínio de funções e a função arco seno ( ). Para resolver, vamos lembrar que a função só está definida para valores entre -1 e 1. Então, precisamos encontrar todos os pares que fazem com que esteja dentro desse intervalo.

Passo 2

Vamos começar identificando a condição para que esteja definida. Sabemos que:
Isso significa que o argumento de deve ser maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos resolver as duas desigualdades separadamente.
Primeiro:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Como é sempre maior ou igual a 0 (já que quadrados de números reais são não negativos), essa desigualdade sempre será verdadeira. Portanto, não impõe restrições adicionais.

Passo 4

Segundo:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Aqui, temos um problema: a soma de quadrados é sempre não negativa, ou seja, . Mas estamos tentando que ela seja menor ou igual a -1, o que é impossível.

Passo 5

Como a segunda desigualdade não pode ser satisfeita por nenhum par real, concluímos que não existem valores de e que tornam a expressão válida para a função .

Resposta

O domínio da função é o conjunto vazio, ou seja, não existem valores reais de e que tornam a função definida.

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