Descreva e esboce o domínio de cada função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O que a gente precisa fazer aqui é descobrir para quais valores de
e
essa função faz sentido, ou seja, encontrar o domínio dela. Vamos usar conceitos de logaritmos e desigualdades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural
só está definido quando
. Então, o que está dentro do logaritmo na nossa função precisa ser maior que zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa desigualdade:
Isso significa que a soma dos quadrados de
e
precisa ser maior que 4.
Passo 4
A expressão
representa todas as coordenadas
que estão a uma distância maior que 2 do ponto de origem (0,0) no plano. Geometricamente, isso é a área de fora de um círculo de raio 2 centrado na origem.
Passo 5
Então, o domínio da função
é o conjunto de todos os pares
tais que a distância do ponto
até a origem é maior que 2. Em termos matemáticos:
Passo 6
Para esboçar o domínio, a gente desenha o plano
e traça o círculo de raio 2 centrado na origem. O domínio será tudo fora desse círculo. O círculo em si não faz parte do domínio porque a desigualdade é estrita ( > 4, e não ≥ 4).
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
no plano onde
. Geometricamente, isso corresponde a todas as coordenadas que estão fora de um círculo de raio 2 centrado na origem.
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Encontre
se
e
.
Descreva e esboce o domínio de cada função.
Descreva e esboce o domínio de cada função.