Descreva e esboce o domínio de cada função. z = ln(x^2 + y^2 - 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O que a gente precisa fazer aqui é descobrir para quais valores de e essa função faz sentido, ou seja, encontrar o domínio dela. Vamos usar conceitos de logaritmos e desigualdades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural só está definido quando . Então, o que está dentro do logaritmo na nossa função precisa ser maior que zero:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade:
Isso significa que a soma dos quadrados de e precisa ser maior que 4.

Passo 4

A expressão representa todas as coordenadas que estão a uma distância maior que 2 do ponto de origem (0,0) no plano. Geometricamente, isso é a área de fora de um círculo de raio 2 centrado na origem.

Passo 5

Então, o domínio da função é o conjunto de todos os pares tais que a distância do ponto até a origem é maior que 2. Em termos matemáticos:

Passo 6

Para esboçar o domínio, a gente desenha o plano e traça o círculo de raio 2 centrado na origem. O domínio será tudo fora desse círculo. O círculo em si não faz parte do domínio porque a desigualdade é estrita ( > 4, e não ≥ 4).

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos no plano onde . Geometricamente, isso corresponde a todas as coordenadas que estão fora de um círculo de raio 2 centrado na origem.

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