Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente somar uma série infinita da forma
e mostra que o resultado é
. Então, o assunto aqui é séries infinitas e vamos precisar usar frações parciais pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série usando frações parciais. Isso ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais fáceis de somar. Queremos escrever
como
.
Para encontrar A e B, fazemos:
Multiplicando tudo por
pra eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação, temos .
Da primeira equação, temos
Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a série original usando essas frações parciais:
Podemos fatorar o
:
Perceba que essa soma é telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar quando a gente somar.
Passo 4
Vamos expandir os primeiros termos pra ver como funciona o cancelamento:
Vemos que
cancela com
, e assim por diante. No final, só sobra o primeiro termo de cada par:
Como a série é infinita, os termos restantes vão tendendo a zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Descreva e esboce o domínio de cada função.
Descreva e esboce o domínio de cada função.
Determine se a função
é contínua em
para algum valor de
. Justifique sua resposta com argumentos consistentes, explicitando o valor de
e uma relação entre
e
, se for o caso.
Descreva e esboce o domínio de cada função.