Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
f) integral-3^0 1raiz9-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais e analisar o comportamento da função no intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função , percebemos que o denominador se anula quando , ou seja, quando . Nosso intervalo de integração vai de a , então no ponto o denominador é zero, o que pode causar uma descontinuidade. Por isso, a integral é imprópria nesse limite.

Passo 3

Como temos uma descontinuidade no limite inferior da integral ( lima to -3^+ integrala^0 1raiz9 - x^2 , dx ), vamos reescrever a integral como um limite. Assim, transformamos a integral imprópria em uma integral definida:
Isso significa que vamos calcular a integral para se aproximando de por valores maiores que .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral 1raiza^2 - x^2 , dx = arcsin(xa) + C . Sabemos que:
integral 1raiz9 - x^2 , dx = arcsin(x3) + C
No nosso caso, , então:

Passo 5

Vamos aplicar os limites de integração na expressão encontrada. Primeiro, calculamos para arcsin(03) = arcsin(0) = 0 :
arcsin(a3)
Agora, para lima to -3^+ arcsin(a3) = arcsin(-33) = arcsin(-1) = -pi2 :
Lembrando que vamos tirar o limite quando se aproxima de :

Passo 6

Subtraindo os valores obtidos:
0 - (-pi2) = pi2

Resposta

A integral é convergente e o seu valor é .

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