Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais e analisar o comportamento da função no intervalo de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função
, percebemos que o denominador
se anula quando
, ou seja, quando
. Nosso intervalo de integração vai de
a
, então no ponto
o denominador é zero, o que pode causar uma descontinuidade. Por isso, a integral é imprópria nesse limite.
Passo 3
Como temos uma descontinuidade no limite inferior da integral (
), vamos reescrever a integral como um limite. Assim, transformamos a integral imprópria em uma integral definida:
Isso significa que vamos calcular a integral para
se aproximando de
por valores maiores que
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Vamos aplicar os limites de integração na expressão encontrada. Primeiro, calculamos para
:
Agora, para
:
Lembrando que vamos tirar o limite quando
se aproxima de
:
Passo 6
Subtraindo os valores obtidos:
Resposta
A integral é convergente e o seu valor é
.
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