• Descreva a definição de base (de exemplos)

Passo 1

Beleza, vamos falar sobre o que é uma base em álgebra linear. Para entender isso, a gente precisa conhecer alguns conceitos básicos como espaço vetorial, independência linear e conjunto gerador. Vamos destrinchar cada um deles para chegar à definição completa de base.

Passo 2

Primeiro, um espaço vetorial é como um ambiente onde você pode somar vetores e multiplicar por escalar sem sair desse ambiente. Por exemplo, o conjunto de todos os vetores no plano é um espaço vetorial.

Passo 3

Agora, sobre independência linear: um conjunto de vetores é dito ser linearmente independente se nenhum vetor desse conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, nenhum vetor “depende” dos demais.

Passo 4

O próximo conceito é o de conjunto gerador (ou espaço gerador). Um conjunto de vetores gera o espaço vetorial se qualquer vetor desse espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores do conjunto.

Passo 5

Juntando esses conceitos, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera o espaço. Isso significa que voc�� pode construir qualquer vetor do espaço usando combinações lineares dos vetores da base, e não sobra redundância porque eles são independentes.

Passo 6

Vamos para um exemplo: no espaço , os vetores e formam uma base. Eles são independentes porque nenhum dos vetores pode ser formado a partir do outro, e qualquer vetor no plano pode ser escrito como uma combinação desses dois.

Resposta

Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Por exemplo, em , os vetores e formam uma base, pois qualquer vetor no plano pode ser construído a partir deles sem que um dependa do outro.

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