- Descreva a definição de base (de exemplos)
Passo 1
Beleza, vamos falar sobre o que é uma base em álgebra linear. Para entender isso, a gente precisa conhecer alguns conceitos básicos como espaço vetorial, independência linear e conjunto gerador. Vamos destrinchar cada um deles para chegar à definição completa de base.
Passo 2
Primeiro, um espaço vetorial é como um ambiente onde você pode somar vetores e multiplicar por escalar sem sair desse ambiente. Por exemplo, o conjunto de todos os vetores no plano é um espaço vetorial.
Passo 3
Agora, sobre independência linear: um conjunto de vetores é dito ser linearmente independente se nenhum vetor desse conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, nenhum vetor “depende” dos demais.
Passo 4
O próximo conceito é o de conjunto gerador (ou espaço gerador). Um conjunto de vetores gera o espaço vetorial se qualquer vetor desse espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores do conjunto.
Passo 5
Juntando esses conceitos, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera o espaço. Isso significa que voc�� pode construir qualquer vetor do espaço usando combinações lineares dos vetores da base, e não sobra redundância porque eles são independentes.
Passo 6
Vamos para um exemplo: no espaço
, os vetores
e
formam uma base. Eles são independentes porque nenhum dos vetores pode ser formado a partir do outro, e qualquer vetor no plano pode ser escrito como uma combinação desses dois.
Resposta
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Por exemplo, em
, os vetores
e
formam uma base, pois qualquer vetor no plano pode ser construído a partir deles sem que um dependa do outro.
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