Descreva as superfícies de nível da função .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente descrever as superfícies de nível da função . Isso envolve entender como fica o gráfico dessa função pra diferentes valores constantes. Vamos precisar saber o que são superfícies de nível e como identificar o tipo delas usando equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que superfícies de nível são as “fatias” do gráfico da função onde é igual a uma constante . Matematicamente, isso significa que a superfície de nível para um valor é o conjunto de todos os pontos que satisfazem .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos:
Essa é a equação que descreve a superfície de nível para um valor específico de .

Passo 4

Agora, vamos analisar que tipo de superfície essa equação representa. A presença dos termos quadráticos com coeficientes diferentes sugere que estamos lidando com um elipsoide. Um elipsoide é como uma esfera esticada ou comprimida em diferentes direções.

Passo 5

Para deixar isso mais claro, podemos reescrever a equação da seguinte maneira:
Aqui, percebemos que os denominadores são diferentes, confirmando que as escalas nos eixos , e são distintas, caracterizando um elipsoide.

Passo 6

Portanto, para cada valor positivo de , a equação descreve um elipsoide com diferentes proporções ao longo de cada eixo. Se aumenta, o elipsoide fica maior, e se diminui, ele fica menor.

Resposta

As superfícies de nível da função são elipsoides definidos por para cada valor positivo de .

Exercícios relacionados

Encontre o domínio de , se
Dada a função , determine:
Descreva as superfícies de nível da função . Além disso, esboce as superfícies de nível para , e .
Determine a derivada direcional das seguintes funções: , no ponto , na direção do vetor que une a