Descreva as superfícies de nível da função
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente descrever as superfícies de nível da função
. Isso envolve entender como fica o gráfico dessa função pra diferentes valores constantes. Vamos precisar saber o que são superfícies de nível e como identificar o tipo delas usando equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que superfícies de nível são as “fatias” do gráfico da função onde
é igual a uma constante
. Matematicamente, isso significa que a superfície de nível para um valor
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Essa é a equação que descreve a superfície de nível para um valor específico de
.
Passo 4
Agora, vamos analisar que tipo de superfície essa equação representa. A presença dos termos quadráticos com coeficientes diferentes sugere que estamos lidando com um elipsoide. Um elipsoide é como uma esfera esticada ou comprimida em diferentes direções.
Passo 5
Para deixar isso mais claro, podemos reescrever a equação da seguinte maneira:
Aqui, percebemos que os denominadores são diferentes, confirmando que as escalas nos eixos
,
e
são distintas, caracterizando um elipsoide.
Passo 6
Portanto, para cada valor positivo de
, a equação
descreve um elipsoide com diferentes proporções ao longo de cada eixo. Se
aumenta, o elipsoide fica maior, e se diminui, ele fica menor.
Resposta
As superfícies de nível da função
são elipsoides definidos por
para cada valor positivo de
.
Exercícios relacionados
Encontre o domínio de
, se
Dada a função
, determine:
Descreva as superfícies de nível da função
. Além disso, esboce as superfícies de nível para
, e
.
Determine a derivada direcional das seguintes funções:
, no ponto
, na direção do vetor que une
a