Descreva as superfícies de nível da função
. Além disso, esboce as superfícies de nível para
, e
.
Passo 1
Então, galera! A gente tem aqui um exercício que pede para descrever as superfícies de nível da função
. Além disso, precisamos esboçar essas superfícies para os valores
,
e
. Vamos usar conceitos de funções de várias variáveis e entender como essas superfícies se comportam no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são superfícies de nível. Para uma função de três variáveis,
, uma superfície de nível é o conjunto de pontos
tais que
, onde
é uma constante. Essas superfícies nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço.
Passo 3
Vamos montar a equação das superfícies de nível para a função dada. Temos:
Isso pode ser rearranjado para:
Passo 4
Agora, observando a equação
, percebemos que essa é a equação de uma hiperbólica paraboloide. Dependendo do valor de
, a superfície se desloca no eixo
.
Passo 5
Vamos analisar cada caso específico:
Para
:
Essa é a hiperbólica paraboloide padrão, que possui duas “curvas” principais formando uma sela.
Para
:
Aqui, a superfície se desloca 5 unidades para baixo no eixo
.
Para
:
Neste caso, a superfície se desloca 5 unidades para cima no eixo
.
Passo 6
Para esboçar essas superfícies, imagine a hiperbólica paraboloide padrão e visualize como ela se move ao longo do eixo
conforme alteramos o valor de
:
-
: Superfície central. -
: Superfície deslocada para baixo. -
: Superfície deslocada para cima.
Cada uma dessas superfícies mantém a mesma forma geral, apenas mudando sua posição ao longo do eixo
.
Resposta
As superfícies de nível da função
são hiperbólicas paraboloides que se deslocam ao longo do eixo
conforme o valor de
. Para
,
e
, as superfícies estão centralizadas, deslocadas 5 unidades para baixo e 5 unidades para cima, respectivamente.
Exercícios relacionados
Descreva as superfícies de nível da função
.
Encontre o domínio de
, se
Determine a derivada direcional das seguintes funções:
, no ponto
, na direção do vetor que une
a
A Figura abaixo mostra as curvas de nível da temperatura
da superfície do oceano, de uma determinada região do globo terrestre. Supondo que
é aproximadamente igual a
, pergunta-se:
Qual é a taxa máxima de variação da temperatura em
?