Descreva as superfícies de nível da função . Além disso, esboce as superfícies de nível para , e .

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um exercício que pede para descrever as superfícies de nível da função . Além disso, precisamos esboçar essas superfícies para os valores , e . Vamos usar conceitos de funções de várias variáveis e entender como essas superfícies se comportam no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são superfícies de nível. Para uma função de três variáveis, , uma superfície de nível é o conjunto de pontos tais que , onde é uma constante. Essas superfícies nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço.

Passo 3

Vamos montar a equação das superfícies de nível para a função dada. Temos:
Isso pode ser rearranjado para:

Passo 4

Agora, observando a equação , percebemos que essa é a equação de uma hiperbólica paraboloide. Dependendo do valor de , a superfície se desloca no eixo .

Passo 5

Vamos analisar cada caso específico:
Para :
Essa é a hiperbólica paraboloide padrão, que possui duas “curvas” principais formando uma sela.
Para :
Aqui, a superfície se desloca 5 unidades para baixo no eixo .
Para :
Neste caso, a superfície se desloca 5 unidades para cima no eixo .

Passo 6

Para esboçar essas superfícies, imagine a hiperbólica paraboloide padrão e visualize como ela se move ao longo do eixo conforme alteramos o valor de :
  • : Superfície central.
  • : Superfície deslocada para baixo.
  • : Superfície deslocada para cima.
Cada uma dessas superfícies mantém a mesma forma geral, apenas mudando sua posição ao longo do eixo .

Resposta

As superfícies de nível da função são hiperbólicas paraboloides que se deslocam ao longo do eixo conforme o valor de . Para , e , as superfícies estão centralizadas, deslocadas 5 unidades para baixo e 5 unidades para cima, respectivamente.

Exercícios relacionados

Descreva as superfícies de nível da função .
Encontre o domínio de , se
Determine a derivada direcional das seguintes funções: , no ponto , na direção do vetor que une a
A Figura abaixo mostra as curvas de nível da temperatura da superfície do oceano, de uma determinada região do globo terrestre. Supondo que é aproximadamente igual a , pergunta-se:
Qual é a taxa máxima de variação da temperatura em ?