Determine a derivada direcional das seguintes funções: , no ponto , na direção do vetor que une a

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto , na direção do vetor que vai de até . Pra resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e a direção do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor que une a . Para isso, subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 3

Agora, precisamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1. Isso é importante porque a derivada direcional usa um vetor unitário na direção desejada. O comprimento do vetor é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
No ponto , temos:

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada. Então:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção de é .

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Descreva as superfícies de nível da função . Além disso, esboce as superfícies de nível para , e .
Descreva as superfícies de nível da função .
A Figura abaixo mostra as curvas de nível da temperatura da superfície do oceano, de uma determinada região do globo terrestre. Supondo que é aproximadamente igual a , pergunta-se:
Qual é a taxa máxima de variação da temperatura em ?
Encontre o comprimento do arco das curvas a seguir:
, para .