Determine a derivada direcional das seguintes funções:
, no ponto
, na direção do vetor que une
a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
, na direção do vetor que vai de
até
. Pra resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e a direção do vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor que une
a
. Para isso, subtraímos as coordenadas de
das de
:
Passo 3
Agora, precisamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1. Isso é importante porque a derivada direcional usa um vetor unitário na direção desejada. O comprimento do vetor
é:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
No ponto
, temos:
Passo 5
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada. Então:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção de
é
.