A descrição da energia potencial de uma molécula diatômica é dada pelo potencial de LennardJones,
U(r)=Ar^12-Br^6
onde A e B são constantes e r é a distância de separação entre os átomos. Encontre, em termos de A e B, (b) a energia E necessária para quebrar uma molécula diatômica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a energia potencial de uma molécula diatômica descrita pelo potencial de Lennard-Jones:
U(r) = Ar^12 - Br^6
Aqui, A e B são constantes, e r é a distância entre os átomos. A pergunta é para encontrar, em termos de A e B, a energia E necessária para quebrar a molécula. Para isso, vamos precisar entender como esse potencial funciona e encontrar o ponto onde a molécula está em equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir em que distância r a molécula está em equilíbrio. Isso acontece onde a energia potencial U(r) é mínima. Para encontrar esse ponto, precisamos derivar U(r) em relação a r e igualar a zero:
dUdr = 0
Vamos calcular a derivada:
dUdr = -12Ar^13 + 6Br^7 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar r. Igualando a derivada a zero:
-12Ar^13 + 6Br^7 = 0
Podemos rearranjar os termos:
6Br^7 = 12Ar^13
Dividindo ambos os lados por 6:
Br^7 = 2Ar^13
Multiplicando ambos os lados por r^13:
B r^6 = 2A
Isolando r:
r^6 = 2AB r = ( 2AB )^16

Passo 4

Agora que temos a distância de equilíbrio r0 = ( 2AB )^16, vamos calcular a energia potencial nesse ponto:
U(r0) = Ar0^12 - Br0^6
Substituindo r0:
U(r0) = A( 2AB )^2 - B( 2AB )^1 = A B^2(2A)^2 - B^22A = A B^24A^2 - B^22A = B^24A - B^22A = -B^24A

Passo 5

A energia necessária para quebrar a molécula, E, é a energia que precisamos adicionar para levar a molécula do ponto de equilíbrio até a separação infinita, onde a energia potencial é zero. Isso significa que:
E = -U(r0) = B^24A

Resposta

A energia necessária para quebrar a molécula diatômica é:
E = B^24A

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