A função de distribuição de Fermi-Dirac pode ser formulada como
onde
é a temperatura de Fermi, definida de acordo com
(b) Descreva as curvas obtidas para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função de distribuição de Fermi-Dirac, que nos mostra como os elétrons estão distribuídos em diferentes níveis de energia em um material, dependendo da temperatura. A questão quer que a gente descreva como essa função se comporta para diferentes temperaturas: $ T = 0 $, $ T = 0.1 T_F $, $ T = 0.2 T_F $ e $ T = 0.5 T_F
T_F
E_F $).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da função de distribuição de Fermi-Dirac:
Aqui, $ E $ é a energia, $ E_F $ é a energia de Fermi, $ k_B $ é a constante de Boltzmann, e $ T $ é a temperatura. A temperatura de Fermi ($ T_F $) está relacionada com a energia de Fermi pela relação:
Isso significa que $ T_F $ é a temperatura característica onde a energia térmica $ k_B T $ é igual à energia de Fermi $ E_F $.
Passo 3
Agora, vamos analisar como a função $ f(E) $ se comporta em diferentes temperaturas.
-
Para $ T = 0 $:
- A expressão $ e^{\left(\frac{E}{E_F} - 1\right) \frac{T_F}{T}} $ se torna $ e^{\infty} $ se $ E > E_F $ e $ e^{-\infty} $ se $ E < E_F $.
- Isso faz com que $ f(E) $ seja 1 para $ E < E_F $ e 0 para $ E > E_F $.
- Portanto, a curva é uma “degrau” abrupto em $ E = E_F $.
-
Para $ T = 0.1 T_F $:
- A temperatura é baixa, mas não zero.
- A transição da função de 1 para 0 em torno de $ E_F $ é suave, mas ainda bastante íngreme.
- A curva começa a diminuir rapidamente próximo a $ E_F $, mas há uma pequena “região de transição”.
-
Para $ T = 0.2 T_F $:
- A temperatura aumenta um pouco mais.
- A região de transição na curva de $ f(E) $ se alarga.
- A curva ainda está descendente em $ E_F $, mas de forma menos abrupta comparada a $ T = 0.1 T_F $.
-
Para $ T = 0.5 T_F $:
- A temperatura é metade da temperatura de Fermi.
- A função de distribuição é ainda mais suave.
- A transição de 1 para 0 ocorre de forma gradual em uma faixa mais larga de energias ao redor de $ E_F $.
Resposta
As curvas da distribuição de Fermi-Dirac para $ T = 0 $, $ 0.1 T_F $, $ 0.2 T_F $ e $ 0.5 T_F $ mostram transições cada vez mais suaves de 1 para 0 ao redor da energia de Fermi $ E_F $ conforme a temperatura aumenta. Em $ T = 0 $, a curva é uma degrau abrupto em $ E_F $. Para $ T = 0.1 T_F $ e $ 0.2 T_F $, a transição se torna progressivamente mais gradual, e em $ T = 0.5 T_F $, a curva apresenta uma transição bem suave, refletindo a distribuição mais abrangente dos elétrons nas energias próximas a $ E_F $ devido ao aumento da temperatura.