Um elétron move-se em uma caixa tridimensional de lado L e volume L^3. A função de onda da partícula é psi=A sen(kx x) sen(ky y) sen(kz z). Mostre que sua energia é dada pela,
En=-hbar^2 pi^22 me L^2(nx^2+ny^2+nz^2)
onde os números quânticos (nx, ny, nz) são inteiros >= 1. Sugestão: A equação de Schrödinger em três dimensões pode ser assim escrita
hbar^22 m(partial^2 psipartial x^2+partial^2 psipartial y^2+partial^2 psipartial z^2)=(U-E) psi

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elétron que está se movendo dentro de uma caixa tridimensional com lados de comprimento $ L $ e volume $ L^3 $. A função de onda da partícula é dada por:
L
A tarefa é mostrar que a energia do elétron é:
L^3
onde $ n_x, n_y, n_z $ são números quânticos inteiros maiores ou iguais a 1. Para resolver isso, vamos usar a equação de Schrödinger em três dimensões e aplicar alguns conceitos de quantização de energia em sistemas restritos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Schrödinger para uma partícula em três dimensões sem potencial externo (já que a partícula está dentro da caixa e o potencial é zero dentro e infinito nas paredes):
-hbar^22m ( partial^2 psipartial x^2 + partial^2 psipartial y^2 + partial^2 psipartial z^2 ) = E psi
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa do elétron, e $ E $ é a energia total da partícula.

Passo 3

Vamos aplicar as derivadas parciais à função de onda $ \psi $:
psi
partial^2 psipartial x^2 = -A kx^2 sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z)
partial^2 psipartial y^2 = -A ky^2 sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z)
Somando essas derivadas:
partial^2 psipartial z^2 = -A kz^2 sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z)

Passo 4

Substituindo de volta na equação de Schrödinger:
-hbar^22m [ -A (kx^2 + ky^2 + kz^2) sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z) ] = E A sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z)
Simplificando:
hbar^22m (kx^2 + ky^2 + kz^2) psi = E psi
Assim, a energia $ E $ é:
E

Passo 5

Agora, sabemos que as condições de contorno para uma partícula em uma caixa com paredes infinitamente altas exigem que a função de onda seja nula nas paredes da caixa. Isso leva a quantizações nos números de onda $ k_x, k_y, k_z $:
kx, ky, kz
onde $ n_x, n_y, n_z $ são números inteiros maiores ou iguais a 1.

Passo 6

Substituindo $ k_x, k_y, k_z $ na expressão da energia:
kx, ky, kz
Simplificando:
E = hbar^22m ( ( nx piL )^2 + ( ny piL )^2 + ( nz piL )^2 )

Resposta

A energia do elétron na caixa tridimensional é:
En = hbar^2 pi^22 me L^2 (nx^2 + ny^2 + nz^2)
onde $ n_x, n_y, n_z $ são números quânticos inteiros maiores ou iguais a 1.

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