Um elétron move-se em uma caixa tridimensional de lado
e volume
. A função de onda da partícula é
. Mostre que sua energia é dada pela,
onde os números quânticos
são inteiros
. Sugestão: A equação de Schrödinger em três dimensões pode ser assim escrita
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elétron que está se movendo dentro de uma caixa tridimensional com lados de comprimento $ L $ e volume $ L^3 $. A função de onda da partícula é dada por:
A tarefa é mostrar que a energia do elétron é:
onde $ n_x, n_y, n_z $ são números quânticos inteiros maiores ou iguais a 1. Para resolver isso, vamos usar a equação de Schrödinger em três dimensões e aplicar alguns conceitos de quantização de energia em sistemas restritos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de Schrödinger para uma partícula em três dimensões sem potencial externo (já que a partícula está dentro da caixa e o potencial é zero dentro e infinito nas paredes):
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa do elétron, e $ E $ é a energia total da partícula.
Passo 3
Vamos aplicar as derivadas parciais à função de onda $ \psi $:
Somando essas derivadas:
Passo 4
Substituindo de volta na equação de Schrödinger:
Simplificando:
Assim, a energia $ E $ é:
Passo 5
Agora, sabemos que as condições de contorno para uma partícula em uma caixa com paredes infinitamente altas exigem que a função de onda seja nula nas paredes da caixa. Isso leva a quantizações nos números de onda $ k_x, k_y, k_z $:
onde $ n_x, n_y, n_z $ são números inteiros maiores ou iguais a 1.
Passo 6
Substituindo $ k_x, k_y, k_z $ na expressão da energia:
Simplificando:
Resposta
A energia do elétron na caixa tridimensional é:
onde $ n_x, n_y, n_z $ são números quânticos inteiros maiores ou iguais a 1.