Mostre que a energia cinética média de um elétron de condução em um metal a 0 K é E média =35 EFé Sugestão: Em geral, a energia cinética média é
E média =1ne integral0^infty E N(E) d E é
onde ne é a densidade de partículas, N(E) d E é dado por
N(E) d E=(8 raiz2 pi me^3 / 2h^3 E^1 / 2)(1e^(E-EF) / kB T+1) d E
e a integral é por todos os valores possíveis da energia.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a energia cinética média de um elétron de condução em um metal a 0 K é $ E_{média} = \frac{3}{5} E_F $. Para isso, vamos usar a fórmula da energia cinética média:
Emédia = 35 EF é
Aqui, $ n_e $ é a densidade de partículas e $ N(E) $ é a densidade de estados disponíveis para os elétrons. Vamos precisar entender como essa densidade de estados se comporta a 0 K para resolver a integral.

Passo 2

A densidade de estados $ N(E) $ é dada por:
N(E)
No entanto, como estamos considerando a temperatura $ T = 0 $ K, a função de distribuição de Fermi-Dirac $ \frac{1}{e^{(E - E_F)/(k_B T)} + 1} $ se simplifica. A 0 K, os elétrons ocupam todos os estados com energia menor ou igual a $ E_F $ e nenhum estado acima de $ E_F $.

Passo 3

Portanto, a função de distribuição se torna uma função degrau de Heaviside:
1e^(E - EF)/(kB T) + 1 = 1 & se E <= EF 0 & se E > EF
Assim, a densidade de estados efetiva a 0 K é:
N(E) dE = 8 raiz2 pi me^3/2h^3 E^1/2 , dE para E <= EF

Passo 4

Com isso, a integral para a energia cinética média fica limitada de 0 a $ E_F $:
EF é
Simplificando a expressão dentro da integral:
Emédia = 1ne integral0^EF E cdot 8 raiz2 pi me^3/2h^3 E^1/2 , dE

Passo 5

Agora, a integral fica:
Emédia = 8 raiz2 pi me^3/2h^3 ne integral0^EF E^3/2 , dE é
Calculando a integral:
integral0^EF E^3/2 , dE = 25 EF^5/2
Substituindo de volta:
Emédia = 8 raiz2 pi me^3/2h^3 ne cdot 25 EF^5/2 = 16 raiz2 pi me^3/25 h^3 ne EF^5/2 é

Passo 6

Precisamos encontrar a expressão para a densidade de elétrons $ n_e $ a 0 K. A densidade de elétrons é dada por:
ne
Calculando a integral:
ne = integral0^EF N(E) , dE = 8 raiz2 pi me^3/2h^3 integral0^EF E^1/2 , dE
Substituindo:
integral0^EF E^1/2 , dE = 23 EF^3/2

Passo 7

Agora, substituímos $ n_e $ na expressão de $ E_{média} $:
ne é
Simplificando os termos:
Emédia é

Resposta

Emédia = 35 EF é

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