Mostre que a energia cinética média de um elétron de condução em um metal a 0 K é
Sugestão: Em geral, a energia cinética média é
onde
é a densidade de partículas,
é dado por
e a integral é por todos os valores possíveis da energia.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a energia cinética média de um elétron de condução em um metal a 0 K é $ E_{média} = \frac{3}{5} E_F $. Para isso, vamos usar a fórmula da energia cinética média:
Aqui, $ n_e $ é a densidade de partículas e $ N(E) $ é a densidade de estados disponíveis para os elétrons. Vamos precisar entender como essa densidade de estados se comporta a 0 K para resolver a integral.
Passo 2
A densidade de estados $ N(E) $ é dada por:
No entanto, como estamos considerando a temperatura $ T = 0 $ K, a função de distribuição de Fermi-Dirac $ \frac{1}{e^{(E - E_F)/(k_B T)} + 1} $ se simplifica. A 0 K, os elétrons ocupam todos os estados com energia menor ou igual a $ E_F $ e nenhum estado acima de $ E_F $.
Passo 3
Portanto, a função de distribuição se torna uma função degrau de Heaviside:
Assim, a densidade de estados efetiva a 0 K é:
Passo 4
Com isso, a integral para a energia cinética média fica limitada de 0 a $ E_F $:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, a integral fica:
Calculando a integral:
Substituindo de volta:
Passo 6
Precisamos encontrar a expressão para a densidade de elétrons $ n_e $ a 0 K. A densidade de elétrons é dada por:
Calculando a integral:
Substituindo:
Passo 7
Agora, substituímos $ n_e $ na expressão de $ E_{média} $:
Simplificando os termos: