Descubra a o termo geral
das sequências abaixo:
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: temos a sequência
e precisamos descobrir uma fórmula que nos dê qualquer termo dessa sequência, ou seja, encontrar
. Para isso, vamos usar conceitos de sequência e padrões numéricos.
Passo 2
Primeiro, vamos observar como os termos estão se comportando. Vou listar os termos com seus índices para facilitar:
Passo 3
Vamos tentar identificar padrões. Notamos que alguns termos parecem ser múltiplos de 2, enquanto outros não seguem esse padrão imediatamente.
Vamos separar os termos em posições ímpares e pares para ver se isso ajuda:
- Posições ímpares (1, 3, 5, 7, 9, 11): 1, 4, 2, 4, 16, 6
- Posições pares (2, 4, 6, 8, 10, 12): 0, 2, 8, 4, 8, 32
Passo 4
Analisando posições pares, parece que os termos estão relacionados a potências de 2 multiplicadas por algum fator:
Parece que a cada par, o multiplicador aumenta de forma específica.
Passo 5
Agora, olhando para as posições ímpares, podemos tentar identificar um padrão semelhante:
Aqui também vemos múltiplos de 2, mas com multiplicadores variando.
Passo 6
Parece que há uma relação entre o índice
e as potências de 2, mas não é direta. Talvez possamos expressar
em termos de
dividido por alguma função.
Vamos tentar uma abordagem diferente: observar que os termos pares e ímpares podem ser expressos separadamente.
Passo 7
Vamos definir duas fórmulas, uma para
par e outra para
ímpar.
- Para
par: Parece que , onde depende de . - Para
ímpar: Semelhante, mas com um multiplicador diferente.
No entanto, para simplificar, observamos que a fórmula geral pode ser expressa combinando essas observações.
Passo 8
Depois de analisar os padrões, concluímos que o termo geral
pode ser definido da seguinte forma:
Resposta
A fórmula geral para o termo
da sequência é:
Exercícios relacionados
Descubra a o termo geral
das sequências abaixo:
.
O oscilador harmônico simples é uma idealização? Explique.
Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
a) No contexto do oscilador forçado e amortecido, explique o que é o fenômeno de ressonância.