Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Isso tá ligado ao estudo de limites de sequências, que faz parte da matéria de Cálculo. Vamos precisar comparar o crescimento do numerador e do denominador para entender o comportamento dessa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos do numerador e do denominador separadamente. No numerador, temos
e no denominador temos
. Sabemos que, conforme
aumenta,
e
crescem exponencialmente, mas com bases diferentes.
Passo 3
Para facilitar a comparação, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
. Assim, a sequência fica:
Isso ajuda a simplificar e entender melhor o comportamento da sequência.
Passo 4
Agora, vamos analisar cada parte dessa nova expressão:
-
: Como , esse termo cresce exponencialmente sem limite à medida que aumenta. -
: Aqui, como cresce muito rápido, esse termo tende a zero quando vai para o infinito.
Passo 5
Com base nisso, a expressão fica:
Então,
basicamente se comporta como
para grandes valores de
.
Passo 6
Como
tende ao infinito quando
tende ao infinito, concluímos que a sequência
também tende ao infinito.
Resposta
A sequência
diverge para o infinito. Utilizamos a comparação do crescimento das funções exponenciais com bases diferentes para chegar a essa conclusão.
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