Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Isso tá ligado ao estudo de limites de sequências, que faz parte da matéria de Cálculo. Vamos precisar comparar o crescimento do numerador e do denominador para entender o comportamento dessa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos do numerador e do denominador separadamente. No numerador, temos e no denominador temos . Sabemos que, conforme aumenta, e crescem exponencialmente, mas com bases diferentes.

Passo 3

Para facilitar a comparação, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por . Assim, a sequência fica:
Isso ajuda a simplificar e entender melhor o comportamento da sequência.

Passo 4

Agora, vamos analisar cada parte dessa nova expressão:
  • : Como , esse termo cresce exponencialmente sem limite à medida que aumenta.
  • : Aqui, como cresce muito rápido, esse termo tende a zero quando vai para o infinito.

Passo 5

Com base nisso, a expressão fica:
Então, basicamente se comporta como para grandes valores de .

Passo 6

Como tende ao infinito quando tende ao infinito, concluímos que a sequência também tende ao infinito.

Resposta

A sequência diverge para o infinito. Utilizamos a comparação do crescimento das funções exponenciais com bases diferentes para chegar a essa conclusão.

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