Deseja-se construir um conduto de 0,40 m de diâmetro para transportar 0,20 m^3 / s de um fluido de massa especifica igual a 1000 kg / m^3 e viscosidade absoluta igual a 4,7 times 10^-3 N s / m^2. Qual deve ser o diâmetro de um modelo dinamicamente semelhante para transportar um fluido com vazão de 0,05 m^3 / s, viscosidade absoluta igual a 8,6 times 10^-4 N s / m^2 e massa especifica igual a 800 kg / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir o diâmetro de um conduto menor que é “dinamicamente semelhante” ao original. Isso significa que queremos que o modelo menor se comporte de forma igual ao original. A matéria que vamos usar aqui é a Hidrodinâmica, mais especificamente o conceito de Número de Reynolds, que ajuda a entender se o fluxo é turbulento ou laminar. Para resolver, vamos precisar das fórmulas do Número de Reynolds e da relação entre os diâmetros e as vazões dos dois condutos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Número de Reynolds (Re). Ele é uma medida que nos diz se o fluxo de um fluido será turbulento ou laminar. A fórmula do Re é:
Re = rho cdot v cdot Dmu
Onde:
  • rho é a massa específica do fluido.
  • v é a velocidade do fluido.
  • D é o diâmetro do conduto.
  • mu é a viscosidade absoluta do fluido.

Passo 3

Como sabemos, a velocidade ( v) do fluido está relacionada com a vazão ( Q) e a área ( A) do conduto através da fórmula:
v = QA
E a área ( A) de um conduto circular é:
A = pi cdot D^24
Então, podemos substituir v na equação do Re:
Re = rho cdot Qpi cdot D^24 cdot Dmu = 4 cdot rho cdot Qpi cdot mu cdot D

Passo 4

Como queremos que o modelo seja dinamicamente semelhante ao original, os Números de Reynolds devem ser iguais para os dois condutos. Ou seja:
Re1 = Re2
Substituindo as expressões:
4 cdot rho1 cdot Q1pi cdot mu1 cdot D1 = 4 cdot rho2 cdot Q2pi cdot mu2 cdot D2
Podemos simplificar os 4 e pi de ambos os lados:
rho1 cdot Q1mu1 cdot D1 = rho2 cdot Q2mu2 cdot D2

Passo 5

Agora, vamos isolar D2 para encontrar o diâmetro do modelo:
D2 = rho2 cdot Q2 cdot mu1 cdot D1rho1 cdot Q1 cdot mu2

Passo 6

Vamos substituir os valores numéricos fornecidos:
D2 = 800 , kg/m^3 cdot 0,05 , m^3/s cdot 4,7 times 10^-3 , N cdot s/m^2 cdot 0,40 , m1000 , kg/m^3 cdot 0,20 , m^3/s cdot 8,6 times 10^-4 , N cdot s/m^2

Passo 7

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
800 cdot 0,05 cdot 4,7 times 10^-3 cdot 0,40 = 800 cdot 0,05 = 40 40 cdot 4,7 times 10^-3 = 0,188 0,188 cdot 0,40 = 0,0752
Denominador:
1000 cdot 0,20 cdot 8,6 times 10^-4 = 1000 cdot 0,20 = 200 200 cdot 8,6 times 10^-4 = 0,172

Passo 8

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
D2 = 0,07520,172 approx 0,436 , m

Resposta

O diâmetro do conduto modelo deve ser aproximadamente 0,436 metros.

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