Um modelo em escala de 1:10 é construído para se estudar o movimento de um escoamento em uma usina. A descarga planejada é de 200 m^3 / s e o modelo pode acomodar uma taxa de escoamento máximo de 0,1 m^3 / s. Qual é a relação entre o tempo de escoamento do modelo e do protótipo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um modelo em escala 1:10 para estudar o movimento de escoamento numa usina. A descarga planejada (no protótipo real) é de 200 , m^3/s e o modelo pode aguentar até 0,1 , m^3/s. Nosso objetivo é descobrir qual é a relação entre o tempo de escoamento no modelo e no protótipo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as escalas de comprimento e descarga se relacionam com o tempo de escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando fazemos um modelo em escala, temos que manter certas relações para que o comportamento do modelo represente bem o do protótipo. Uma dessas relações envolve o tempo de escoamento. A fórmula básica que relaciona a descarga ( Q), o comprimento ( L) e o tempo ( T) é:
Q sim L^3T
Isso significa que a descarga é proporcional ao comprimento ao cubo dividido pelo tempo.

Passo 3

Agora, vamos definir as escalas de comprimento e descarga entre o modelo e o protótipo. O modelo tem uma escala de comprimento de 1:10, ou seja, cada unidade de comprimento no modelo corresponde a 10 unidades no protótipo. Vamos chamar essa escala de lambda = 110.
A escala de descarga é a relação entre a descarga do modelo ( Qm) e a do protótipo ( Qp):
phi = QmQp = 0,1200 = 0,0005

Passo 4

Queremos encontrar a escala de tempo ( tau), que relaciona o tempo no modelo ( Tm) e no protótipo ( Tp):
tau = TmTp
Usando a relação de escalar para a descarga:
phi = QmQp = ( LmLp )^3 ( TpTm )
Como LmLp = lambda = 110, podemos rearranjar a equação para encontrar tau:
tau = TmTp = phi ( LpLm )^3 = 0,0005 times 10^3 = 0,5

Resposta

A relação entre o tempo de escoamento no modelo e no protótipo é de 0,5. Ou seja, o tempo no modelo é metade do tempo no protótipo.

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