Tubos concêntricos de aço inoxidável (k=15 W / m cdot K) de 0,2 m de comprimento e diâmetros interno e externo de 4 cm e 5 cm, respectivamente, são usados para formar um capacitor térmico. O espaço entre os tubos é preenchido com óleo de motor cuja viscosidade a 10^circ C é 0,1 kg / m cdot s. Determine a potência nominal do capacitor térmico para uma diferença de temperatura de 50^circ C entre os tubos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre tubos concêntricos de aço inoxidável que formam um capacitor térmico. A gente tem que descobrir qual é a potência nominal desse capacitor quando há uma diferença de temperatura de 50°C entre os tubos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em geometria cilíndrica. Os dados que a gente tem são:
  • Condutividade térmica do aço inoxidável, $ k = 15 , \mathrm{W}/\mathrm{m} \cdot \mathrm{K} $
  • Comprimento dos tubos, $ L = 0,2 , \mathrm{m} $
  • Diâmetros interno e externo dos tubos, $ D_{int} = 4 , \mathrm{cm} $ e $ D_{ext} = 5 , \mathrm{cm} $
  • Diferença de temperatura, $ \Delta T = 50^{\circ} \mathrm{C} $

Passo 2

Primeiro, vamos converter os diâmetros para raios, porque na fórmula de condução de calor em cilindros a gente usa os raios. Então:
r1 = Dint2 = 4 , cm2 = 2 , cm = 0,02 , m
r2 = Dext2 = 5 , cm2 = 2,5 , cm = 0,025 , m

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da condução de calor para cilindros concêntricos:
Q = 2 pi k L De
Onde:
  • $ Q $ é a potência térmica (que é o que queremos encontrar)
  • $ k $ é a condutividade térmica
  • $ L $ é o comprimento
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura
  • $ r_1 $ e $ r_2 $ são os raios interno e externo

Passo 4

Vamos substituir os valores que já temos na fórmula:
Q = 2 pi times 15 , W/m cdot K times 0,2 , m times 50 , Kln(0,025 , m0,02 , m)

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o denominador, que envolve o logaritmo natural:
ln(0,0250,02) = ln(1,25) approx 0,2231

Passo 6

Agora, vamos calcular o numerador:
2 pi times 15 times 0,2 times 50 = 2 times 3,1416 times 15 times 0,2 times 50
= 6,2832 times 15 times 0,2 times 50
= 94,248 times 0,2 times 50
= 18,8496 times 50
= 942,48 , W

Passo 7

Finalmente, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar a potência:
Q = 942,480,2231 approx 4225,5 , W

Resposta

A potência nominal do capacitor térmico é aproximadamente 4225,5 W.

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