Deseja-se construir um experimento em que dois sistemas massa-mola oscilem na frequência. Sabendo que no sistema 1, a massa e a constante elástica são, respectivamente
e
, e que no sistema 2 , temos somente informação da constante elástica
,
, qual deve ser o valor de
, em termos de
, no sistema 2 para que ambos os sistemas oscilem na mesma frequência?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois sistemas massa-mola que precisam oscilar na mesma frequência. No primeiro sistema, a massa é
e a constante elástica é
. No segundo sistema, só sabemos que a constante elástica é
. A pergunta é: qual deve ser o valor de
em termos de
para que ambos os sistemas tenham a mesma frequência de oscilação?
Nesse problema, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, especificamente a fórmula da frequência de um sistema massa-mola. Vamos precisar entender como a frequência depende da massa e da constante elástica para igualar as frequências dos dois sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a frequência (
) de um sistema massa-mola. A frequência é dada por:
Onde:
-
é a constante elástica da mola -
é a massa do sistema
Essa fórmula mostra que a frequência aumenta com uma mola mais rígida (maior
) e diminui com uma massa maior (maior
).
Passo 3
Como queremos que os dois sistemas tenham a mesma frequência, vamos igualar as fórmulas das frequências dos dois sistemas:
Podemos simplificar esse passo eliminando
dos dois lados:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 4
Sabemos que
, então vamos substituir esse valor na equação:
Agora, podemos simplificar
dos dois lados:
Para encontrar
, vamos resolver a equação:
Resposta
O valor de
deve ser quatro vezes a massa
, ou seja,
.