Deseja-se construir um experimento em que dois sistemas massa-mola oscilem na frequência. Sabendo que no sistema 1, a massa e a constante elástica são, respectivamente m1 e k1, e que no sistema 2 , temos somente informação da constante elástica k2, com k2=4 k1, qual deve ser o valor de m2, em termos de m1, no sistema 2 para que ambos os sistemas oscilem na mesma frequência?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois sistemas massa-mola que precisam oscilar na mesma frequência. No primeiro sistema, a massa é e a constante elástica é . No segundo sistema, só sabemos que a constante elástica é . A pergunta é: qual deve ser o valor de em termos de para que ambos os sistemas tenham a mesma frequência de oscilação?
Nesse problema, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, especificamente a fórmula da frequência de um sistema massa-mola. Vamos precisar entender como a frequência depende da massa e da constante elástica para igualar as frequências dos dois sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a frequência ( f = 12pi raizkm ) de um sistema massa-mola. A frequência é dada por:
Onde:
  • é a constante elástica da mola
  • é a massa do sistema
Essa fórmula mostra que a frequência aumenta com uma mola mais rígida (maior ) e diminui com uma massa maior (maior ).

Passo 3

Como queremos que os dois sistemas tenham a mesma frequência, vamos igualar as fórmulas das frequências dos dois sistemas:
12pi raizk1m1 = 12pi raizk2m2
Podemos simplificar esse passo eliminando raizk1m1 = raizk2m2 dos dois lados:
k1m1 = k2m2
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

Passo 4

Sabemos que k1m1 = 4k1m2 , então vamos substituir esse valor na equação:
1m1 = 4m2
Agora, podemos simplificar m2 = 4m1 dos dois lados:
Para encontrar , vamos resolver a equação:

Resposta

O valor de deve ser quatro vezes a massa , ou seja, .

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