Um Pêndulo físico é formado por uma régua de um metro cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito na régua a uma distância da marca de 50 cm . O período de oscilação é de 2,5 s. determine o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um pêndulo físico feito com uma régua de um metro, e o ponto de suspensão está a uma distância da marca de 50 cm. O período de oscilação é de 2,5 segundos. Nosso objetivo é descobrir o valor de . Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de momento de inércia e período de um pêndulo físico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do período de um pêndulo físico:
Aqui:
  • é o momento de inércia da régua em relação ao ponto de suspensão.
  • é a massa da régua.
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
  • é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa da régua.

Passo 3

Como a régua é uniforme de 1 metro, o centro de massa está na marca de 50 cm. O ponto de suspensão está a uma distância dessa marca. Então, .

Passo 4

Agora, precisamos calcular o momento de inércia . Para uma régua uniforme, o momento de inércia em relação ao centro de massa é:
Mas como estamos considerando em relação ao ponto de suspensão que está a uma distância do centro de massa, usamos o Teorema dos Eixos Paralelos:

Passo 5

Substituindo e na fórmula do período:
Aqui, cancela das duas partes da fração.

Passo 6

Vamos isolar na equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
Calculando o lado esquerdo:
E simplificando o lado direito:

Passo 8

Vamos igualar os dois lados:
Calculando:
Rearranjando para formar uma equação quadrática:

Passo 9

Para resolver a equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .

Passo 10

Calculando o discriminante:
Extraindo a raiz quadrada:

Passo 11

Aplicando na fórmula:
Calculando as duas soluções:

Passo 12

Analisando as soluções, não faz sentido porque a régua tem apenas 1 metro. Portanto, descartamos essa solução.

Passo 13

Assim, a única solução viável é , ou seja, 5,6 cm.

Resposta

O valor de é aproximadamente 5,6 cm.

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