Um Pêndulo físico é formado por uma régua de um metro cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito na régua a uma distância d da marca de 50 cm . O período de oscilação é de 2,5 s. determine o valor de d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um pêndulo físico feito com uma régua de um metro, e o ponto de suspensão está a uma distância da marca de 50 cm. O período de oscilação é de 2,5 segundos. Nosso objetivo é descobrir o valor de . Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de momento de inércia e período de um pêndulo físico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do período T = 2pi raizImgh de um pêndulo físico:
Aqui:
  • é o momento de inércia da régua em relação ao ponto de suspensão.
  • é a massa da régua.
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
  • é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa da régua.

Passo 3

Como a régua é uniforme de 1 metro, o centro de massa está na marca de 50 cm. O ponto de suspensão está a uma distância dessa marca. Então, .

Passo 4

Agora, precisamos calcular o momento de inércia Icm = mL^212 . Para uma régua uniforme, o momento de inércia em relação ao centro de massa é:
I = Icm + md^2 = mL^212 + md^2
Mas como estamos considerando em relação ao ponto de suspensão que está a uma distância do centro de massa, usamos o Teorema dos Eixos Paralelos:

Passo 5

Substituindo T = 2pi raizmL^212 + md^2mgd = 2pi raizL^212 + d^2gd e na fórmula do período:
Aqui, cancela das duas partes da fração.

Passo 6

Vamos isolar T^2 = 4pi^2 ( L^212 + d^2gd ) na equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
T^2 cdot gd = 4pi^2 ( L^212 + d^2 )
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
(2,5)^2 cdot 9,8 cdot d = 4pi^2 ( 1^212 + d^2 )
Calculando o lado esquerdo:
6,25 cdot 9,8 cdot d = 61,25d
E simplificando o lado direito:
4pi^2 ( 112 + d^2 ) approx 39,4784 ( 0,0833 + d^2 )

Passo 8

Vamos igualar os dois lados:
61,25d = 39,4784 cdot 0,0833 + 39,4784d^2
Calculando:
61,25d = 3,289 + 39,4784d^2
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
39,4784d^2 - 61,25d + 3,289 = 0

Passo 9

Para resolver a equação quadrática d = -b pm raizb^2 - 4ac2a , usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .

Passo 10

Calculando o discriminante:
De
Extraindo a raiz quadrada:
raizDe

Passo 11

Aplicando na fórmula:
d = 61,25 pm 56,832 cdot 39,4784
Calculando as duas soluções:
d1 = 61,25 + 56,8378,9568 approx 118,0878,9568 approx 1,496 , m
d2 = 61,25 - 56,8378,9568 approx 4,4278,9568 approx 0,056 , m

Passo 12

Analisando as soluções, não faz sentido porque a régua tem apenas 1 metro. Portanto, descartamos essa solução.

Passo 13

Assim, a única solução viável é , ou seja, 5,6 cm.

Resposta

O valor de é aproximadamente 5,6 cm.

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