Um Pêndulo físico é formado por uma régua de um metro cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito na régua a uma distância
da marca de 50 cm . O período de oscilação é de 2,5 s. determine o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um pêndulo físico feito com uma régua de um metro, e o ponto de suspensão está a uma distância
da marca de 50 cm. O período de oscilação é de 2,5 segundos. Nosso objetivo é descobrir o valor de
. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de momento de inércia e período de um pêndulo físico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do período
de um pêndulo físico:
Aqui:
-
é o momento de inércia da régua em relação ao ponto de suspensão. -
é a massa da régua. -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ). -
é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa da régua.
Passo 3
Como a régua é uniforme de 1 metro, o centro de massa está na marca de 50 cm. O ponto de suspensão está a uma distância
dessa marca. Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o momento de inércia
. Para uma régua uniforme, o momento de inércia em relação ao centro de massa é:
Mas como estamos considerando em relação ao ponto de suspensão que está a uma distância
do centro de massa, usamos o Teorema dos Eixos Paralelos:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula do período:
Aqui,
cancela das duas partes da fração.
Passo 6
Vamos isolar
na equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando o lado esquerdo:
E simplificando o lado direito:
Passo 8
Vamos igualar os dois lados:
Calculando:
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
Passo 9
Para resolver a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Passo 10
Calculando o discriminante:
Extraindo a raiz quadrada:
Passo 11
Aplicando na fórmula:
Calculando as duas soluções:
Passo 12
Analisando as soluções,
não faz sentido porque a régua tem apenas 1 metro. Portanto, descartamos essa solução.
Passo 13
Assim, a única solução viável é
, ou seja, 5,6 cm.
Resposta
O valor de
é aproximadamente 5,6 cm.