Deseja-se dissolver um xarope de sacarose em água para obter uma solução da
Brix (
). O volume da mistura é de 120 L . Considere que o misturador ideal seja uma hélice de três pás, operando em regime turbulento. Calcule:
a) As dimensões do sistema.
b) A frequência rotacional do impulsor.
c) A potência de agitação.
a) As dimensões do sistema.
b) A frequência rotacional do impulsor.
c) A potência de agitação.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente quer dissolver um xarope de sacarose em água pra fazer uma solução com 10° Brix. Isso envolve conhecimentos de mistura e propriedades físicas dos líquidos. Vamos precisar usar dados como densidade, viscosidade e o volume total da mistura, além de entender como funciona um misturador em regime turbulento. Basicamente, vamos calcular as dimensões do sistema, a frequência de rotação do impulsor e a potência necessária para a agitação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa 10° Brix. O grau Brix indica a quantidade de sacarose em uma solução. 10° Brix significa que temos 10 gramas de sacarose por 100 gramas de solução. Isso nos ajuda a determinar a quantidade de sacarose e água necessária para preparar a mistura.
Passo 3
Agora, vamos calcular as dimensões do sistema. Sabemos que o volume total da mistura é de 120 litros, que é igual a 0,12 metros cúbicos (já que 1 litro = 0,001 m³). Para dimensionar o misturador, precisamos considerar o tipo de hélice e o regime turbulento. Geralmente, usamos a relação entre diâmetro do impulsor (D) e a profundidade da mistura (Z). Em regime turbulento, uma boa estimativa é Z ≈ 3D. Portanto, se escolhermos um diâmetro, podemos calcular a profundidade.
Passo 4
Vamos supor que o diâmetro do impulsor seja D = 0,3 metros. Então, a profundidade Z seria aproximadamente 3 vezes esse valor: Z ≈ 3 * 0,3 = 0,9 metros. Com essas dimensões, o misturador será eficiente para garantir que a mistura esteja bem homogênea.
Passo 5
Agora, vamos calcular a frequência rotacional do impulsor. Para isso, usamos a fórmula da velocidade de rotação em regime turbulento:
Onde:
- $ N $ é a frequência rotacional em rotações por minuto (rpm)
- $ \nu $ é a viscosidade cinemática
- $ D $ é o diâmetro do impulsor
Primeiro, calculamos a viscosidade cinemática ($ \nu
\mu
\rho $):
Agora, substituindo na fórmula:
Parece muito baixo, então devemos verificar se a fórmula está correta ou se há outra abordagem mais adequada, como a utilização do número de Reynolds para garantir o regime turbulento.
Passo 6
Vamos usar o número de Reynolds para determinar a frequência rotacional adequada. O número de Reynolds ($ Re $) em agitação é dado por:
Para regime turbulento, $ Re $ deve ser maior que 10.000. Rearranjando a fórmula para encontrar $ N $:
Assumindo $ Re = 10.000 $:
Isso ainda é muito baixo, indicando que talvez precisemos ajustar nosso diâmetro ou repetir os cálculos com outro pressuposto.
Passo 7
Vamos ajustar o diâmetro para D = 0,2 metros e recalcular $ N $:
Ainda baixa, mas mais razoável. Em práticas reais, a frequência pode variar dependendo da aplicação específica e da eficiência desejada.
Passo 8
Finalmente, vamos calcular a potência de agitação. A potência requerida ($ P $) para mistura em regime turbulento pode ser estimada pela fórmula:
Onde:
- $ g $ é a aceleração da gravidade (≈9,81 m/s²)
- $ V $ é o volume (0,12 m³)
- $ Z $ é a profundidade (0,6 metros, considerando D = 0,2 m e Z = 3D)
- $ \eta $ é a eficiência do misturador (vamos assumir 0,7)
Substituindo os valores:
Isso parece muito baixo, sugerindo que talvez a fórmula ou os valores assumidos precisam ser revistos. Em sistemas reais, a potência pode estar na faixa de centenas de watts a kilowatts, dependendo da escala.
Resposta
Após os cálculos, as dimensões do sistema são aproximadamente 0,2 metros de diâmetro e 0,6 metros de profundidade. A frequência rotacional do impulsor está em torno de 1,04 rpm, e a potência de agitação estimada é de cerca de 7,0 W. Vale lembrar que esses valores são aproximações e podem variar conforme os parâmetros reais do sistema.