Deseja-se efetuar um teste para verificar se a variável aleatória
pode ser considerada proveniente de uma distribuição geométrica com
. Uma amostra com 80 valores desta variável é mostrada na tabela. Efetuar um teste de hipótese. Obs: Não é necessário reagrupar. Use
.
Valores
0
1
2
3
Frequências
30
26
10
5
9
Apresente a conclusão do teste.
Valores | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
Frequências | 30 | 26 | 10 | 5 | 9 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma variável aleatória $ X $ vem de uma distribuição geométrica com parâmetro $ p = 0,4
\chi^2 $) de aderência. Precisamos comparar as frequências observadas com as esperadas segundo a distribuição geométrica e ver se a diferença é significativa, usando um nível de significância $ \alpha = 0,05 $.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses:
- Hipótese Nula ($ H_0 $): A variável $ X $ segue uma distribuição geométrica com $ p = 0,4 $.
- Hipótese Alternativa ($ H_1 $): A variável $ X $ não segue essa distribuição geométrica.
Passo 3
Agora, vamos calcular as frequências esperadas para cada categoria de $ X $ segundo a distribuição geométrica com $ p = 0,4 $.
A função de massa de probabilidade da distribuição geométrica é:
onde $ k = 0, 1, 2, 3, \dots $
Usando $ p = 0,4 $, calculamos:
- $ P(X=0) = 0,4 $
- $ P(X=1) = 0,6 \times 0,4 = 0,24 $
- $ P(X=2) = 0,6^2 \times 0,4 = 0,144 $
- $ P(X=3) = 0,6^3 \times 0,4 = 0,0864 $
- $ P(X>3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)) $
Como temos 80 observações, multiplicamos cada probabilidade por 80 para obter as frequências esperadas:
- $ E_0 = 0,4 \times 80 = 32 $
- $ E_1 = 0,24 \times 80 = 19,2 $
- $ E_2 = 0,144 \times 80 = 11,52 $
- $ E_3 = 0,0864 \times 80 = 6,912 $
- $ E_{>3} = 0,1296 \times 80 = 10,368 $
Passo 4
Vamos calcular o valor do teste do qui-quadrado usando a fórmula:
onde $ O_i $ são as frequências observadas e $ E_i $ as esperadas.
Calculando para cada categoria:
- Para $ X=0 $:
- Para $ X=1 $:
- Para $ X=2 $:
- Para $ X=3 $:
- Para $ X>3 $:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, vamos comparar o valor calculado do $ \chi^2 $ com o valor crítico da distribuição qui-quadrado para o nível de significância $ \alpha = 0,05 $ e os graus de liberdade.
Os graus de liberdade ($ df $) são dados por:
onde $ k $ é o número de categorias e $ m $ o número de parâmetros estimados.
Aqui, temos 5 categorias e estamos supondo $ p = 0,4 $ conhecido, então:
Consultando uma tabela de $ \chi^2 $ com $ df = 4 $ e $ \alpha = 0,05 $, o valor crítico é aproximadamente 9,488.
Passo 6
Comparando os valores:
- $ \chi^2 $ calculado: 3,441
- Valor crítico: 9,488
Como 3,441 < 9,488, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Concluímos que não há evidências suficientes para dizer que a variável $ X $ não segue uma distribuição geométrica com $ p = 0,4 $ ao nível de significância de 5%. Ou seja, a distribuição geométrica com $ p = 0,4 $ é adequada para os dados observados.