Deseja-se efetuar um teste para verificar se a variável aleatória X pode ser considerada proveniente de uma distribuição geométrica com p=0,4. Uma amostra com 80 valores desta variável é mostrada na tabela. Efetuar um teste de hipótese. Obs: Não é necessário reagrupar. Use alpha=0.05.
Valores 0 1 2 3 |l|l|l|l|l|l| hline Valores & 0 & 1 & 2 & 3 & $>3$ hline Frequências & 30 & 26 & 10 & 5 & 9 hline
Frequências 30 26 10 5 9
Apresente a conclusão do teste.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma variável aleatória $ X $ vem de uma distribuição geométrica com parâmetro $ p = 0,4 X íóçãçõ \chi^2 $) de aderência. Precisamos comparar as frequências observadas com as esperadas segundo a distribuição geométrica e ver se a diferença é significativa, usando um nível de significância $ \alpha = 0,05 $.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses:
  • Hipótese Nula ($ H_0 $): A variável $ X $ segue uma distribuição geométrica com $ p = 0,4 $.
  • Hipótese Alternativa ($ H_1 $): A variável $ X $ não segue essa distribuição geométrica.

Passo 3

Agora, vamos calcular as frequências esperadas para cada categoria de $ X $ segundo a distribuição geométrica com $ p = 0,4 $.
A função de massa de probabilidade da distribuição geométrica é:
X
onde $ k = 0, 1, 2, 3, \dots $
Usando $ p = 0,4 $, calculamos:
  • $ P(X=0) = 0,4 $
  • $ P(X=1) = 0,6 \times 0,4 = 0,24 $
  • $ P(X=2) = 0,6^2 \times 0,4 = 0,144 $
  • $ P(X=3) = 0,6^3 \times 0,4 = 0,0864 $
  • $ P(X>3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)) $
p = 0,4
Como temos 80 observações, multiplicamos cada probabilidade por 80 para obter as frequências esperadas:
  • $ E_0 = 0,4 \times 80 = 32 $
  • $ E_1 = 0,24 \times 80 = 19,2 $
  • $ E_2 = 0,144 \times 80 = 11,52 $
  • $ E_3 = 0,0864 \times 80 = 6,912 $
  • $ E_{>3} = 0,1296 \times 80 = 10,368 $

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste do qui-quadrado usando a fórmula:
chi^2 = sum (Oi - Ei)^2Ei
onde $ O_i $ são as frequências observadas e $ E_i $ as esperadas.
Calculando para cada categoria:
  • Para $ X=0 $:
Oi
- Para $ X=1 $:
Ei
  • Para $ X=2 $:
X=0
- Para $ X=3 $:
(30 - 32)^232 = 432 = 0,125
  • Para $ X>3 $:
X=1
Somando tudo:
(26 - 19,2)^219,2 = 46,2419,2 approx 2,406

Passo 5

Agora, vamos comparar o valor calculado do $ \chi^2 $ com o valor crítico da distribuição qui-quadrado para o nível de significância $ \alpha = 0,05 $ e os graus de liberdade.
Os graus de liberdade ($ df $) são dados por:
chi^2
onde $ k $ é o número de categorias e $ m $ o número de parâmetros estimados.
Aqui, temos 5 categorias e estamos supondo $ p = 0,4 $ conhecido, então:
alpha = 0,05
Consultando uma tabela de $ \chi^2 $ com $ df = 4 $ e $ \alpha = 0,05 $, o valor crítico é aproximadamente 9,488.

Passo 6

Comparando os valores:
  • $ \chi^2 $ calculado: 3,441
  • Valor crítico: 9,488
Como 3,441 < 9,488, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Concluímos que não há evidências suficientes para dizer que a variável $ X $ não segue uma distribuição geométrica com $ p = 0,4 $ ao nível de significância de 5%. Ou seja, a distribuição geométrica com $ p = 0,4 $ é adequada para os dados observados.

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