Deseja-se efetuar um teste para verificar se a variável aleatória X pode ser considerada proveniente de uma distribuição geométrica com p=0,4. Uma amostra com 80 valores desta variável é mostrada na tabela. Efetuar um teste de hipótese. Obs: Não é necessário reagrupar. Use alpha=0.05.
Valores 0 1 2 3 |l|l|l|l|l|l| hline Valores & 0 & 1 & 2 & 3 & $>3$ hline Frequências & 30 & 26 & 10 & 5 & 9 hline
Frequências 30 26 10 5 9
Encontre os valores esperados

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma variável aleatória $ X $ segue uma distribuição geométrica com $ p = 0,4 $. A gente tem uma amostra de 80 valores distribuídos nas categorias: 0, 1, 2, 3 e $ >3 $. Nosso conteúdo aqui é teste de hipótese, especificamente o teste qui-quadrado de aderência. Para resolver, vamos precisar calcular os valores esperados para cada categoria com base na distribuição geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a distribuição geométrica. Ela calcula a probabilidade de sucesso na primeira tentativa, depois na segunda, e assim por diante. A fórmula para a probabilidade de $ X = k $ (onde $ k $ é o número de tentativas até o primeiro sucesso) é:
X = k
Aqui, $ p = 0,4 $ é a probabilidade de sucesso.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade para cada categoria:
  • Para $ X = 0 $:
X = 0
  • Para $ X = 1 $:
P(X = 0) = 0,4 times (1 - 0,4)^0 = 0,4 times 1 = 0,4
  • Para $ X = 2 $:
X = 1
  • Para $ X = 3 $:
P(X = 1) = 0,4 times (1 - 0,4)^1 = 0,4 times 0,6 = 0,24
  • Para $ X > 3 $:
    Como queremos a probabilidade de $ X $ ser maior que 3, somamos as probabilidades das categorias anteriores e subtraímos de 1:
X = 2

Passo 4

Com as probabilidades em mãos, agora vamos calcular os valores esperados multiplicando cada probabilidade pelo tamanho da amostra, que é 80:
  • Para $ X = 0 $:
X = 0
  • Para $ X = 1 $:
E(X = 0) = 80 times 0,4 = 32
  • Para $ X = 2 $:
X = 1
  • Para $ X = 3 $:
E(X = 1) = 80 times 0,24 = 19,2
  • Para $ X > 3 $:
X = 2

Resposta

Os valores esperados para cada categoria são:
E(X = 0) &= 32 E(X = 1) &= 19,2 E(X = 2) &= 11,52 E(X = 3) &= 6,912 E(X > 3) &= 10,368

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