Deseja-se efetuar um teste para verificar se a variável aleatória
pode ser considerada proveniente de uma distribuição geométrica com
. Uma amostra com 80 valores desta variável é mostrada na tabela. Efetuar um teste de hipótese. Obs: Não é necessário reagrupar. Use
.
Valores
0
1
2
3
Frequências
30
26
10
5
9
Encontre os valores esperados
Valores | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
Frequências | 30 | 26 | 10 | 5 | 9 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma variável aleatória $ X $ segue uma distribuição geométrica com $ p = 0,4 $. A gente tem uma amostra de 80 valores distribuídos nas categorias: 0, 1, 2, 3 e $ >3 $. Nosso conteúdo aqui é teste de hipótese, especificamente o teste qui-quadrado de aderência. Para resolver, vamos precisar calcular os valores esperados para cada categoria com base na distribuição geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a distribuição geométrica. Ela calcula a probabilidade de sucesso na primeira tentativa, depois na segunda, e assim por diante. A fórmula para a probabilidade de $ X = k $ (onde $ k $ é o número de tentativas até o primeiro sucesso) é:
Aqui, $ p = 0,4 $ é a probabilidade de sucesso.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade para cada categoria:
- Para $ X = 0 $:
- Para $ X = 1 $:
- Para $ X = 2 $:
- Para $ X = 3 $:
- Para $ X > 3 $:
Como queremos a probabilidade de $ X $ ser maior que 3, somamos as probabilidades das categorias anteriores e subtraímos de 1:
Passo 4
Com as probabilidades em mãos, agora vamos calcular os valores esperados multiplicando cada probabilidade pelo tamanho da amostra, que é 80:
- Para $ X = 0 $:
- Para $ X = 1 $:
- Para $ X = 2 $:
- Para $ X = 3 $:
- Para $ X > 3 $:
Resposta
Os valores esperados para cada categoria são: