A resistência do concreto à compressão (que se supõe normalmente distribuída) está sendo estudada e três técnicas diferentes ( A, Be C ) de misturas estão sendo avaliadas. Os seguintes dados foram coletados.
Resistência à compressão (psi) Técnica de mistura
335-4 A
3229 A
3520 B
3110 B
3300 C
3400 C
Avaliar se existe evidência que técnica de mistura influencia na média populacional) da resistência à compressão. Ou seja, faça o teste de hipóteses H0: muA=muB=muC versus H1 : Caso Contrário. Use um nível de confiança igual a 95 %.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem três técnicas diferentes de mistura de concreto (A, B e C) e queremos saber se elas influenciam na resistência à compressão do concreto. Para isso, vamos usar um teste de hipóteses, especificamente a Análise de Variância (ANOVA), que nos ajuda a comparar as médias de três ou mais grupos. Vamos precisar dos dados das resistências para cada técnica e seguir os passos da ANOVA para ver se há diferenças significativas entre as médias das técnicas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
  • Técnica A: 3354 psi, 3229 psi
  • Técnica B: 3520 psi, 3110 psi
  • Técnica C: 3300 psi, 3400 psi
Nota: Corrigi o primeiro valor de “335-4” para “3354” psi, supondo que foi um erro de digitação.

Passo 3

Agora, vamos calcular a média de cada técnica:
  • Média A: $ \mu_A = \frac{3354 + 3229}{2} = \frac{6583}{2} = 3291.5 $ psi
  • Média B: $ \mu_B = \frac{3520 + 3110}{2} = \frac{6630}{2} = 3315 $ psi
  • Média C: $ \mu_C = \frac{3300 + 3400}{2} = \frac{6700}{2} = 3350 $ psi
Também vamos calcular a média geral ($ \mu $) de todos os dados:
$ \mu = \frac{3354 + 3229 + 3520 + 3110 + 3300 + 3400}{6} = \frac{19913}{6} \approx 3318.83 $ psi

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a Soma dos Quadrados entre os grupos (SQE) e a Soma dos Quadrados dentro dos grupos (SQD).
SQE: mede a variação entre as médias dos grupos.
$ SQE = n \times [(\mu_A - \mu)^2 + (\mu_B - \mu)^2 + (\mu_C - \mu)^2] $
Onde $ n $ é o número de observações em cada grupo (n=2).
$ SQE = 2 \times [(3291.5 - 3318.83)^2 + (3315 - 3318.83)^2 + (3350 - 3318.83)^2] $
Calculando cada termo:
  • $ (3291.5 - 3318.83)^2 = ( -27.33 )^2 \approx 746.0 $
  • $ (3315 - 3318.83)^2 = ( -3.83 )^2 \approx 14.66 $
  • $ (3350 - 3318.83)^2 = (31.17)^2 \approx 971.55 $
Então,
$ SQE = 2 \times (746.0 + 14.66 + 971.55) = 2 \times 1732.21 \approx 3464.42 $
SQD: mede a variação dentro de cada grupo.
Para cada grupo, somamos os quadrados das diferenças individuais em relação à média do grupo.
  • Técnica A:
    • $ (3354 - 3291.5)^2 = (62.5)^2 = 3906.25 $
    • $ (3229 - 3291.5)^2 = (-62.5)^2 = 3906.25 $
    • Soma = 3906.25 + 3906.25 = 7812.5
  • Técnica B:
    • $ (3520 - 3315)^2 = (205)^2 = 42025 $
    • $ (3110 - 3315)^2 = (-205)^2 = 42025 $
    • Soma = 42025 + 42025 = 84050
  • Técnica C:
    • $ (3300 - 3350)^2 = (-50)^2 = 2500 $
    • $ (3400 - 3350)^2 = (50)^2 = 2500 $
    • Soma = 2500 + 2500 = 5000
Total SQD = 7812.5 + 84050 + 5000 = 96862.5

Passo 5

Agora, vamos calcular os graus de liberdade para SQE e SQD.
  • Graus de liberdade entre os grupos (dfE): número de grupos - 1 = 3 - 1 = 2
  • Graus de liberdade dentro dos grupos (dfD): total de observações - número de grupos = 6 - 3 = 3

Passo 6

Em seguida, calculamos a média dos quadrados para cada soma de quadrados.
  • Média dos Quadrados Entre (MQE):
$ MQE = \frac{SQE}{dfE} = \frac{3464.42}{2} = 1732.21 $
  • Média dos Quadrados Dentro (MQD):
$ MQD = \frac{SQD}{dfD} = \frac{96862.5}{3} \approx 32287.5 $

Passo 7

Agora, calculamos o valor da estatística F:
$ F = \frac{MQE}{MQD} = \frac{1732.21}{32287.5} \approx 0.0536 $

Passo 8

Precisamos comparar o valor de F calculado com o valor crítico de F para um nível de confiança de 95%, com dfE = 2 e dfD = 3. Procurando na tabela F, o valor crítico aproximadamente é 9.55.

Passo 9

Como o valor calculado de F (0.0536) é muito menor que o valor crítico (9.55), não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências suficientes para afirmar que a técnica de mistura influencia na resistência à compressão do concreto ao nível de confiança de 95%.

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