Deseja-se equacionar um modelo matemático para calcular a distribuição de um produto gasoso A que se transfere através da atmosfera. O fluxo molar de A no nível da superfície da terra é conhecido e denotado por NA O, sendo também conhecida a distância de acima do nível da terra a partir da qual pode-se assumir concentração de A igual a zero. O gás A , à medida que se difunde, reage quimicamente para a formação de um composto B, sendo que a reação química é de primeira ordem. Assumindo processo em estado estacionário e difusão apenas devido ao gradiente de concentração (ou seja, é possível desprezar a contribuição advectiva), encontre o perfil de concentrações para o componente A.
(Resp.: CA=NA Om DA B tgh(m de )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás A que está se espalhando na atmosfera a partir do solo. Sabemos a quantidade de gás que está saindo do chão, que é o fluxo molar NA O. Também sabemos que, a uma certa altura de acima do solo, a concentração de A é zero. Além disso, enquanto o gás A se difunde, ele reage quimicamente para formar o composto B, e essa reação é de primeira ordem. O objetivo é encontrar como a concentração de A varia com a altura z.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de difusão e reações químicas de primeira ordem. Vamos usar a equação de estado estacionário para modelar esse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fick para difusão, que relaciona o fluxo de uma substância com o gradiente de concentração:
J = -DA B dCAdz
Aqui, J é o fluxo molar, DA B é o coeficiente de difusão do gás A, e dCAdz é o gradiente de concentração.
Como o processo está em estado estacionário, o fluxo molar J é constante e igual a NA O. Então podemos escrever:
NA O = -DA B dCAdz

Passo 3

Além da difusão, o gás A está se transformando em B por uma reação de primeira ordem. A taxa dessa reação pode ser expressa como:
Taxa de reação = k CA çã
Onde k é a constante da reação. Porém, como estamos em estado estacionário, a quantidade que A está se difundindo para cima é balanceada pela quantidade que está reagindo. Então, podemos incorporar essa reação na nossa equação de difusão.

Passo 4

A equação completa considerando a reação fica assim:
d^2 CAdz^2 - m^2 CA = 0
Onde m é uma constante que relaciona a difusão e a reação, definido por:
m = raizkDA B
Essa equação diferencial é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral envolvendo funções hiperbólicas como cosseno hiperbólico e seno hiperbólico.

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é:
CA(z) = A cosh(m z) + B sinh(m z)
Aqui, A e B são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno fornecidas pelo problema.

Passo 6

Temos duas condições de contorno:
  1. No solo ( z=0), o fluxo molar é conhecido: NA O = -DA B dCAdz|z=0.
  2. A concentração no topo ( z=de) é zero: CA(de.
Vamos aplicar a primeira condição para encontrar uma relação entre A e B.
Derivando CA(z):
dCAdz = A m sinh(m z) + B m cosh(m z)
Aplicando z=0:
NA O = -DA B (A m cdot 0 + B m cdot 1) = -DA B B m
Daí, isolamos B:
B = -NA ODA B m

Passo 7

Agora aplicamos a segunda condição de contorno: CA(de.
Substituindo na solução geral:
0 = A cosh(m de
Já sabemos que B = -NA ODA B m, então substituímos:
0 = A cosh(m de
Isolando A:
A = NA ODA B m tanh(m de
Porque tanh(m de.

Passo 8

Agora que temos A e B, substituímos de volta na solução geral:
CA(z) = (NA ODA B m tanh(m de
Podemos simplificar colocando os fatores comuns juntos:
CA(z) = NA Om DA B tanh(m de

Resposta

Portanto, o perfil de concentrações para o componente A é dado por:
CA = NA Om DA B tanh(m de

Exercícios relacionados

1-4 diclorobenzedo é um produto sólido usado como desinfetante em muitas aplicações e que sublima a temperaturas ambiente. Deseja-se determinar a taxa ( em kg / s ) na qual este produto evapora sob determinadas condições e em estado estacionário. O desinfetante à base de diclorobenzeno é um cilindro, considerado longo, que tem 2 cm de raio e 20 cm de comprimento. O produto encontra-se em um ambiente quente com temperatura de 50^circ Ce 1 atm de pressão. A pressão de saturação e a difusividade mássica no ar, na temperatura e pressão do sistema, do diclorobenzeno são, respectivamente, 10 mm de Hg e 8 times 10^-6 m^2 / s. Assuma que o processo de transferência de massa ocorre em um filme de ar de 0,25 cm de espessura. Determine, também, quando tempo levaria para e evaporação completa do cilindro de diclorobenzeno (que tem massa específica 1250 kg / m^3 e massa molar 147 kg / kgmol ) considerando, como uma primeira aproximação, condições completamente estacionárias. (Resp.: wA=6,2653 times 10^-6 kg / s ; t=13,93 h ).
Uma panela aberta com diâmetro 200 mm e altura 80 mm (acima da água a 27^circ C ) está exposta ao ar ambiente a 27^circ C com uma umidade relativa de 40 %. Determine a taxa de evaporação admitindo que ocorra somente difusão por gradiente de concentração. Determine, a seguir, a taxa de evaporação considerando também o movimento global e compare criticamente os resultados. A pressão de vapor dágua na temperatura de 300 K é 3531 Pa e a difusividade mássica é 0,26 times 10^-4 m^2 / s. . (Resp.: WA=8,67 times 10^-9 kmol / s ; WA= 8,75 times 10^-9 kmol / s )
Uma partícula de grafite, C(S), queima em ar a 1200^circ C. O processo é limitado pela difusão do oxigênio em contracorrente ao CO2 formado instantaneamente na superfície da partícula. Esta partícula é de carbono puro com massa específica igual a 1,28 g / cm^3 esférica com diâmetro, antes da queima, igual a 0,03 cm. Nas condições de combustão, a difusividade do oxigênio na mistura é igual a 0,134 cm^2 / s. Qual é o tempo necessário para que a partícula de grafite seja consumida totalmente? (Resp.: t=51,5 s )
Uma tubulação de ferro galvanizado de diâmetro interno de 2,5 in é utilizada para transportar água (v=1,2 times 10^-5 ft^2 / s e rho=62,4 lb / ft^3 ) entre dois pontos e tem 290 ft de comprimento. Os parâmetros dos pontos de entrada e de descarga são mostrados na tabela a seguir. A tubulação conta com os seguintes acessórios: 2 válvulas gaveta totalmente abertas, I válvula globo totalmente aberta e 7 cotovelos de 90^circ padronizados. b) Calcular a potência requerida para a bomba (em hp) para que a vazão volumétrica do processo seja 0,44 ft^3 / s.