Deseja-se equacionar um modelo matemático para calcular a distribuição de um produto gasoso A que se transfere através da atmosfera. O fluxo molar de A no nível da superfície da terra é conhecido e denotado por , sendo também conhecida a distância acima do nível da terra a partir da qual pode-se assumir concentração de A igual a zero. O gás A , à medida que se difunde, reage quimicamente para a formação de um composto , sendo que a reação química é de primeira ordem. Assumindo processo em estado estacionário e difusão apenas devido ao gradiente de concentração (ou seja, é possível desprezar a contribuição advectiva), encontre o perfil de concentrações para o componente A.
(Resp.: )
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás A que está se espalhando na atmosfera a partir do solo. Sabemos a quantidade de gás que está saindo do chão, que é o fluxo molar . Também sabemos que, a uma certa altura acima do solo, a concentração de A é zero. Além disso, enquanto o gás A se difunde, ele reage quimicamente para formar o composto B, e essa reação é de primeira ordem. O objetivo é encontrar como a concentração de A varia com a altura .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de difusão e reações químicas de primeira ordem. Vamos usar a equação de estado estacionário para modelar esse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fick para difusão, que relaciona o fluxo de uma substância com o gradiente de concentração:
Aqui, é o fluxo molar, é o coeficiente de difusão do gás A, e é o gradiente de concentração.
Como o processo está em estado estacionário, o fluxo molar é constante e igual a . Então podemos escrever:
Passo 3
Além da difusão, o gás A está se transformando em B por uma reação de primeira ordem. A taxa dessa reação pode ser expressa como:
Onde é a constante da reação. Porém, como estamos em estado estacionário, a quantidade que A está se difundindo para cima é balanceada pela quantidade que está reagindo. Então, podemos incorporar essa reação na nossa equação de difusão.
Passo 4
A equação completa considerando a reação fica assim:
Onde é uma constante que relaciona a difusão e a reação, definido por:
Essa equação diferencial é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral envolvendo funções hiperbólicas como cosseno hiperbólico e seno hiperbólico.
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno fornecidas pelo problema.
Passo 6
Temos duas condições de contorno:
No solo (), o fluxo molar é conhecido: .
A concentração no topo (z=de) é zero: CA(de.
Vamos aplicar a primeira condição para encontrar uma relação entre A e B.
Derivando CA(z):
dCAdz = A m sinh(m z) + B m cosh(m z)
Aplicando z=0:
NA O = -DA B (A m cdot 0 + B m cdot 1) = -DA B B m
Daí, isolamos B:
B = -NA ODA B m
Passo 7
Agora aplicamos a segunda condição de contorno: CA(de.
Substituindo na solução geral:
0 = A cosh(m de
Já sabemos que B = -NA ODA B m, então substituímos:
0 = A cosh(m de
Isolando A:
A = NA ODA B m tanh(m de
Porque tanh(m de.
Passo 8
Agora que temos A e B, substituímos de volta na solução geral:
CA(z) = (NA ODA B m tanh(m de
Podemos simplificar colocando os fatores comuns juntos:
CA(z) = NA Om DA B tanh(m de
Resposta
Portanto, o perfil de concentrações para o componente A é dado por: