Deseja-se estimar a vida média das lâmpadas da marca A. Uma amostra de 101 lâmpadas desta marca foi analisada e forneceu vida média de 1615 dias, com desvio padrão de 150 dias. Encontre os intervalos de
e
de confiança para a vida média populacional.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente quer descobrir a vida média das lâmpadas da marca A usando uma amostra. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente Intervalos de Confiança para a média. Para isso, vamos precisar da média da amostra, do desvio padrão e do tamanho da amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um Intervalo de Confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que acreditamos conter a verdadeira média da população, com um certo nível de confiança. No nosso caso, queremos encontrar intervalos com 90% e 98% de confiança.
Passo 3
A fórmula para calcular o intervalo de confiança da média é:
Onde:
-
é a média da amostra. -
é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da amostra. -
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Vamos identificar os valores que temos:
- Média da amostra,
dias. - Desvio padrão,
dias. - Tamanho da amostra,
lâmpadas.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico
para os níveis de confiança de 90% e 98%.
Para 90% de confiança:
- O valor crítico
é aproximadamente 1,645.
Para 98% de confiança:
- O valor crítico
é aproximadamente 2,326.
Esses valores vêm da tabela da distribuição normal padrão.
Passo 6
Vamos calcular o erro padrão, que é
.
Passo 7
Agora, vamos calcular os intervalos de confiança.
Para 90% de confiança:
Então, o intervalo fica de aproximadamente 1590,42 dias a 1639,58 dias.
Para 98% de confiança:
Então, o intervalo fica de aproximadamente 1580,25 dias a 1650,75 dias.
Resposta
Os intervalos de confiança para a vida média das lâmpadas são:
- 90% de confiança: entre aproximadamente 1590,42 dias e 1639,58 dias.
- 98% de confiança: entre aproximadamente 1580,25 dias e 1650,75 dias.