Deseja-se estimar a vida média das lâmpadas da marca A. Uma amostra de 101 lâmpadas desta marca foi analisada e forneceu vida média de 1615 dias, com desvio padrão de 150 dias. Encontre os intervalos de 90 % e 98 % de confiança para a vida média populacional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente quer descobrir a vida média das lâmpadas da marca A usando uma amostra. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente Intervalos de Confiança para a média. Para isso, vamos precisar da média da amostra, do desvio padrão e do tamanho da amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um Intervalo de Confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que acreditamos conter a verdadeira média da população, com um certo nível de confiança. No nosso caso, queremos encontrar intervalos com 90% e 98% de confiança.

Passo 3

A fórmula para calcular o intervalo de confiança da média é:
barx pm z^* ( sraizn )
Onde:
  • barx é a média da amostra.
  • z^* é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado.
  • s é o desvio padrão da amostra.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos identificar os valores que temos:
  • Média da amostra, barx = 1615 dias.
  • Desvio padrão, s = 150 dias.
  • Tamanho da amostra, n = 101 lâmpadas.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico z^* para os níveis de confiança de 90% e 98%.
Para 90% de confiança:
  • O valor crítico z^* é aproximadamente 1,645.
Para 98% de confiança:
  • O valor crítico z^* é aproximadamente 2,326.
Esses valores vêm da tabela da distribuição normal padrão.

Passo 6

Vamos calcular o erro padrão, que é sraizn.
sraizn = 150raiz101 approx 15010,05 approx 14,93

Passo 7

Agora, vamos calcular os intervalos de confiança.
Para 90% de confiança:
1615 pm 1,645 times 14,93 approx 1615 pm 24,58
Então, o intervalo fica de aproximadamente 1590,42 dias a 1639,58 dias.
Para 98% de confiança:
1615 pm 2,326 times 14,93 approx 1615 pm 34,75
Então, o intervalo fica de aproximadamente 1580,25 dias a 1650,75 dias.

Resposta

Os intervalos de confiança para a vida média das lâmpadas são:
  • 90% de confiança: entre aproximadamente 1590,42 dias e 1639,58 dias.
  • 98% de confiança: entre aproximadamente 1580,25 dias e 1650,75 dias.

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