Suponha que 100 peixes especiais são pescados, marcados e colocados no lago de um sitiante, que passa a ter, então, um total de 2000 peixes. Num certo dia, o sitiante autoriza a realização de uma pescaria. Assuma que a quantidade de peixes no lago até esse dia não se alterou. Se 60 peixes são pescados, calcule a probabilidade de 5 serem especiais
b) supondo que os peixes pescados não são colocados de volta no lago.
b) supondo que os peixes pescados não são colocados de volta no lago.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um lago com 2000 peixes, dos quais 100 são especiais e já foram marcados. Em um dia de pescaria, alguém decide pegar 60 peixes. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 5 desses 60 peixes serem os especiais? A gente vai resolver isso em duas situações:
a) Quando os peixes pescados são colocados de volta no lago (piscando com reposição).
b) Quando os peixes pescados não são colocados de volta no lago (piscando sem reposição).
Vamos precisar de alguns conceitos de probabilidade, como combinações e distribuições de probabilidade. Mas relaxa que vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Parte a) Peixes recolocados após a pesca
Aqui, como os peixes são recolocados depois de cada pescaria, cada pesca é independente das outras. Isso significa que a probabilidade de pegar um peixe especial não muda conforme vamos pescando mais peixes. Nesse caso, a distribuição que usamos é a distribuição binomial.
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
-
é o número total de tentativas (neste caso, 60 pescas). -
é o número de sucessos desejados (5 peixes especiais). -
é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
Vamos calcular:
- Total de peixes no lago: 2000
- Peixes especiais: 100
- Então,
(cada peixe tem 5% de chance de ser especial).
Agora, aplicando na fórmula:
Então:
Isso significa que há aproximadamente 18% de chance de pegar exatamente 5 peixes especiais nessa situação.
Passo 3
Parte b) Peixes não recolocados após a pesca
Agora, como os peixes não são recolocados depois de cada pescaria, a quantidade de peixes especiais e de peixes totais no lago diminui a cada pescada. Nesse caso, a distribuição que usamos é a distribuição hipergeométrica.
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
Onde:
-
é o número total de peixes no lago (2000). -
é o número de peixes especiais (100). -
é o número de peixes pescados (60). -
é o número de peixes especiais que queremos (5).
Aplicando na fórmula:
Calculando as combinações:
Então:
Isso significa que há aproximadamente 21,7% de chance de pegar exatamente 5 peixes especiais nessa situação.
Resposta
a) A probabilidade de exatamente 5 dos 60 peixes pescados serem especiais, com reposição, é aproximadamente 18%.
b) A probabilidade de exatamente 5 dos 60 peixes pescados serem especiais, sem reposição, é aproximadamente 21,7%.