As probabilidades de que haja 1,2,3,4, ou 5 pessoas nos carros que passam por um pedágio são, respectivamente, 0.05,0.20,0.40,0.25 e 0.10 . Seja X= número de passageiros por veículo.
c) Calcule a probabilidade de que, num grupo de 5 carros, pelo menos um tenha mais que 3 pessoas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as probabilidades de ter 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em um carro que passa pelo pedágio. Queremos descobrir a chance de, em um grupo de 5 carros, pelo menos um deles ter mais de 3 pessoas. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade e a ideia do complemento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “mais de 3 pessoas”. Isso quer dizer que o carro tem 4 ou 5 passageiros. Então, precisamos calcular a probabilidade de um carro ter 4 ou 5 pessoas.

Passo 3

Vamos somar as probabilidades de ter 4 e 5 pessoas em um carro:
P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.25 + 0.10 = 0.35
Então, a chance de um carro ter mais de 3 pessoas é 35%.

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de pelo menos um dos 5 carros ter mais de 3 pessoas. É mais fácil calcular o complemento disso, ou seja, a probabilidade de nenhum dos 5 carros ter mais de 3 pessoas.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a probabilidade de um carro não ter mais de 3 pessoas, ou seja, ter 3 ou menos passageiros:
P(X <= 3) = 1 - P(X > 3) = 1 - 0.35 = 0.65
Então, a chance de um carro ter 3 ou menos pessoas é 65%.

Passo 6

Como os carros são independentes, a probabilidade de que nenhum dos 5 carros tenha mais de 3 pessoas é:
P(nenhum dos 5) = (0.65)^5

Passo 7

Finalmente, a probabilidade de que pelo menos um dos 5 carros tenha mais de 3 pessoas é o complemento da probabilidade de nenhum ter mais de 3 pessoas:
P(pelo menos um) = 1 - (0.65)^5

Resposta

Calculando:
1 - (0.65)^5 approx 1 - 0.1160 = 0.884
Portanto, a probabilidade de que, em um grupo de 5 carros, pelo menos um tenha mais de 3 pessoas é de aproximadamente 88,4%.

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