As equações da continuidade e de Navier-Stokes podem ser escritas para escoamento interno laminar plenamente desenvolvido bidimensional no interior de dutos de seção circular em coordenadas cartesianas. Neste caso, a literatura mostra que os resultados obtidos são similares aos deduzidos usando coordenadas cilíndricas. Baseado nesta assertiva:
Usando as hipóteses acima, simplifique a equação de Navier-Stokes e determine quem será a coordenada axial e quem será a coordenada radial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre as equações da continuidade e de Navier-Stokes para um escoamento interno laminar, totalmente desenvolvido e bidimensional em dutos circulares, mas usando coordenadas cartesianas. Nosso objetivo é simplificar a equação de Navier-Stokes com essas condições e identificar qual coordenada será a axial e qual será a radial. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre fluxos laminares, coordenadas cartesianas e como as equações de Navier-Stokes se aplicam nesses contextos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um escoamento interno laminar totalmente desenvolvido. Isso quer dizer que o fluxo é previsível, suave e suas características não mudam ao longo da direção do escoamento. Em termos matemáticos, isso implica que as derivadas parciais em relação à direção axial são nulas.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as coordenadas cartesianas, que têm três direções: x, y e z. Em um duto circular, normalmente usamos coordenadas cilíndricas (raio $ r $, ângulo $ \theta $, e axial $ z $), mas o enunciado pede para usar cartesianas. Então, precisamos adaptar as equações para esse sistema.

Passo 4

A equação de Navier-Stokes na forma geral em coordenadas cartesianas é:
rho ( partial vpartial t + v cdot nabla v ) = -nabla p + mu nabla^2 v
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade do fluido,
  • $ \mathbf{v} $ é o vetor velocidade,
  • $ p $ é a pressão,
  • $ \mu $ é a viscosidade,
  • $ \nabla $ representa o operador nabla.

Passo 5

Como o escoamento é totalmente desenvolvido e laminar, as velocidades não dependem do tempo nem da direção axial. Isso simplifica a equação porque as derivadas temporais e axiais se anulam:
0 = -partial ppartial z + mu ( partial^2 vxpartial x^2 + partial^2 vxpartial y^2 )
Aqui, consideramos que a única componente significativa da velocidade é na direção axial, que vamos chamar de $ v_z $.

Passo 6

Portanto, a equação simplificada fica:
mu ( partial^2 vzpartial x^2 + partial^2 vzpartial y^2 ) = partial ppartial z
Isso mostra que a variação da velocidade na direção radial (x e y) está balanceada pela variação da pressão na direção axial (z).

Passo 7

Assim, identificamos que a direção axial é $ z $ e as direções radiais são $ x $ e $ y $ no sistema de coordenadas cartesianas.

Resposta

Após simplificar a equação de Navier-Stokes para um escoamento interno laminar totalmente desenvolvido bidimensional em coordenadas cartesianas, identificamos que a coordenada axial é $ z $ e as coordenadas radiais são $ x $ e $ y $.

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