As equações da continuidade e de Navier-Stokes podem ser escritas para escoamento interno laminar plenamente desenvolvido bidimensional no interior de dutos de seção circular em coordenadas cartesianas. Neste caso, a literatura mostra que os resultados obtidos são similares aos deduzidos usando coordenadas cilíndricas. Baseado nesta assertiva:
Usando as hipóteses acima, simplifique a equação de Navier-Stokes e determine quem será a coordenada axial e quem será a coordenada radial.
Usando as hipóteses acima, simplifique a equação de Navier-Stokes e determine quem será a coordenada axial e quem será a coordenada radial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre as equações da continuidade e de Navier-Stokes para um escoamento interno laminar, totalmente desenvolvido e bidimensional em dutos circulares, mas usando coordenadas cartesianas. Nosso objetivo é simplificar a equação de Navier-Stokes com essas condições e identificar qual coordenada será a axial e qual será a radial. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre fluxos laminares, coordenadas cartesianas e como as equações de Navier-Stokes se aplicam nesses contextos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um escoamento interno laminar totalmente desenvolvido. Isso quer dizer que o fluxo é previsível, suave e suas características não mudam ao longo da direção do escoamento. Em termos matemáticos, isso implica que as derivadas parciais em relação à direção axial são nulas.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as coordenadas cartesianas, que têm três direções: x, y e z. Em um duto circular, normalmente usamos coordenadas cilíndricas (raio $ r $, ângulo $ \theta $, e axial $ z $), mas o enunciado pede para usar cartesianas. Então, precisamos adaptar as equações para esse sistema.
Passo 4
A equação de Navier-Stokes na forma geral em coordenadas cartesianas é:
Onde:
- $ \rho $ é a densidade do fluido,
- $ \mathbf{v} $ é o vetor velocidade,
- $ p $ é a pressão,
- $ \mu $ é a viscosidade,
- $ \nabla $ representa o operador nabla.
Passo 5
Como o escoamento é totalmente desenvolvido e laminar, as velocidades não dependem do tempo nem da direção axial. Isso simplifica a equação porque as derivadas temporais e axiais se anulam:
Aqui, consideramos que a única componente significativa da velocidade é na direção axial, que vamos chamar de $ v_z $.
Passo 6
Portanto, a equação simplificada fica:
Isso mostra que a variação da velocidade na direção radial (x e y) está balanceada pela variação da pressão na direção axial (z).
Passo 7
Assim, identificamos que a direção axial é $ z $ e as direções radiais são $ x $ e $ y $ no sistema de coordenadas cartesianas.
Resposta
Após simplificar a equação de Navier-Stokes para um escoamento interno laminar totalmente desenvolvido bidimensional em coordenadas cartesianas, identificamos que a coordenada axial é $ z $ e as coordenadas radiais são $ x $ e $ y $.