Deseja-se obter a imagem de uma lâmpada, ampliada 5 vezes, sobre uma parede situada a 12 cm de distância da lâmpada. Quais as características e a posição do espelho esférico que se pode utilizar?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos formar a imagem de uma lâmpada que seja ampliada 5 vezes usando um espelho esférico. Essa imagem vai aparecer numa parede que está a 12 cm de distância da lâmpada. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de espelhos esféricos, ampliação e as fórmulas da óptica geométrica que relacionam a distância do objeto, a distância da imagem e a distância focal do espelho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a ampliação de 5 vezes. A ampliação (m) é a relação entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto. Quando dizemos que a imagem é ampliada 5 vezes, isso significa que:
Onde:
- $ h_i $ é a altura da imagem.
- $ h_o $ é a altura do objeto.
Como a imagem é real (formada na parede), a ampliação será negativa (a imagem invertida). Então, na verdade:
Passo 3
Agora, vamos relacionar a ampliação com as distâncias do objeto e da imagem usando a fórmula da ampliação linear:
Onde:
- $ m $ é a ampliação.
- $ q $ é a distância da imagem até o espelho.
- $ p $ é a distância do objeto até o espelho.
Sabemos que $ m = -5 $, então:
Passo 4
Sabemos também que a soma das distâncias do objeto e da imagem até o espelho é igual à distância total entre a lâmpada e a parede, que é 12 cm:
Substituindo $ q $ por $ 5p $:
Então, a distância do objeto (lâmpada) até o espelho é de 2 cm, e a distância da imagem até o espelho é:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula dos espelhos esféricos para encontrar a distância focal $ f $:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Sabemos que para formar uma imagem real e invertida que é ampliada, o espelho deve ser côncavo. Isso porque espelhos planos não ampliam imagens reais, e espelhos convexos sempre formam imagens virtuais.
Resposta
Para obter uma imagem da lâmpada ampliada 5 vezes na parede a 12 cm de distância, devemos usar um espelho esférico côncavo com distância focal de aproximadamente 1,67 cm. O espelho deve estar posicionado a 2 cm da lâmpada, de modo que a imagem formada esteja a 10 cm do espelho na direção da parede.