Deseja-se obter a imagem de uma lâmpada, ampliada 5 vezes, sobre uma parede situada a 12 cm de distância da lâmpada. Quais as características e a posição do espelho esférico que se pode utilizar?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos formar a imagem de uma lâmpada que seja ampliada 5 vezes usando um espelho esférico. Essa imagem vai aparecer numa parede que está a 12 cm de distância da lâmpada. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de espelhos esféricos, ampliação e as fórmulas da óptica geométrica que relacionam a distância do objeto, a distância da imagem e a distância focal do espelho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a ampliação de 5 vezes. A ampliação (m) é a relação entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto. Quando dizemos que a imagem é ampliada 5 vezes, isso significa que:
m = hiho = 5
Onde:
  • $ h_i $ é a altura da imagem.
  • $ h_o $ é a altura do objeto.
Como a imagem é real (formada na parede), a ampliação será negativa (a imagem invertida). Então, na verdade:
hi

Passo 3

Agora, vamos relacionar a ampliação com as distâncias do objeto e da imagem usando a fórmula da ampliação linear:
m = -qp
Onde:
  • $ m $ é a ampliação.
  • $ q $ é a distância da imagem até o espelho.
  • $ p $ é a distância do objeto até o espelho.
Sabemos que $ m = -5 $, então:
m
q
p

Passo 4

Sabemos também que a soma das distâncias do objeto e da imagem até o espelho é igual à distância total entre a lâmpada e a parede, que é 12 cm:
p + q = 12 , cm
Substituindo $ q $ por $ 5p $:
q
5p
p + 5p = 12
Então, a distância do objeto (lâmpada) até o espelho é de 2 cm, e a distância da imagem até o espelho é:
6p = 12

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula dos espelhos esféricos para encontrar a distância focal $ f $:
f
Substituindo os valores que encontramos:
1f = 1p + 1q
1f = 12 + 110
1f = 510 + 110
1f = 610
f = 106

Passo 6

Sabemos que para formar uma imagem real e invertida que é ampliada, o espelho deve ser côncavo. Isso porque espelhos planos não ampliam imagens reais, e espelhos convexos sempre formam imagens virtuais.

Resposta

Para obter uma imagem da lâmpada ampliada 5 vezes na parede a 12 cm de distância, devemos usar um espelho esférico côncavo com distância focal de aproximadamente 1,67 cm. O espelho deve estar posicionado a 2 cm da lâmpada, de modo que a imagem formada esteja a 10 cm do espelho na direção da parede.

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