O setor de controle de qualidade está intervindo em um processo produtivo por acreditar que a proporção de peças fora das especificações está muito elevado. Uma amostra de 100 peças foi avaliada e observou-se 20 peças fora das especificações. Sendo alpha=1 %, determine um intervalo de confiança para a proporção de peças defeituosas deste processo produtivo.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de estatística sobre intervalo de confiança para uma proporção. O problema diz que o setor de controle de qualidade avaliou 100 peças e encontrou que 20 estão fora das especificações. Queremos determinar um intervalo de confiança para a proporção de peças defeituosas com um nível de confiança de 99% (já que α = 1%).

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os dados que temos:
  • Tamanho da amostra,
  • Número de peças defeituosas na amostra,
  • Proporção amostral,

Passo 3

Para calcular o intervalo de confiança, vamos usar a fórmula do intervalo para proporção:
p pm z^* times raizp(1 - p)n
Onde:
  • é a proporção amostral.
  • é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado.
  • é o tamanho da amostra.

Passo 4

Determinar o valor crítico z^* approx 2,576 para um nível de confiança de 99%. Esse valor corresponde ao percentil da distribuição normal que deixa 0,5% em cada cauda (já que 100% - 99% = 1%, divididos em duas partes).
Consultando uma tabela de valores da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do intervalo de confiança:
0,2 pm 2,576 times raiz0,2 times 0,8100
Primeiro, calculamos o erro padrão:
raiz0,2 times 0,8100 = raiz0,16100 = raiz0,0016 = 0,04

Passo 6

Multiplicamos o valor crítico pelo erro padrão:
2,576 times 0,04 = 0,10304

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
0,2 - 0,10304 = 0,09696
0,2 + 0,10304 = 0,30304

Resposta

O intervalo de confiança para a proporção de peças defeituosas é de aproximadamente 9,7% a 30,3% com 99% de confiança.

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