Deseja-se verificar se a afirmação de que a percentagem de cinza contidas em carvão produzido por uma indústria segue distribuição normal. Os resultados seguem:
Cinzas (em %) | Frequência observada |
---|---|
|
7 |
|
43 |
|
201 |
|
39 |
|
8 |
|
2 |
Assumindo
e
faça o teste qui-quadrado de ajustamento
(29.3) Obtenha o valor tabelado quando
(29.3) Obtenha o valor tabelado quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer verificar se a porcentagem de cinza no carvão produzido por uma indústria segue uma distribuição normal. Para isso, vamos usar o teste qui-quadrado de ajustamento. Precisamos dos dados de frequência observada e das informações da distribuição normal que estamos assumindo, que são a média (
) e o desvio padrão (
).
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos diferentes intervalos de porcentagem de cinza e a frequência observada em cada intervalo:
Cinzas (em %) | Frequência Observada |
---|---|
|
7 |
|
43 |
|
201 |
|
39 |
|
8 |
|
2 |
Passo 3
Agora, vamos calcular a frequência esperada para cada intervalo, assumindo que a distribuição é normal com
e
. Para isso, usamos a função de distribuição acumulada da normal (CDF) para encontrar a probabilidade de uma observação cair em cada intervalo e multiplicamos pelo total de observações para achar a frequência esperada.
Primeiro, somamos todas as frequências observadas para encontrar o total de observações:
Passo 4
Agora, vamos calcular as probabilidades para cada intervalo usando a CDF da normal. As fórmulas para cada limite são:
Onde
é a função de distribuição acumulada da normal.
Vamos calcular para cada intervalo:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a frequência esperada para cada intervalo multiplicando a probabilidade pelo total de observações (
):
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 6
Vamos agora calcular o estatístico qui-quadrado usando a fórmula:
Onde
são as frequências observadas e
as esperadas.
Vamos calcular para cada intervalo:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Agora, somamos todos esses valores para obter o valor de
:
Passo 7
Agora, precisamos determinar os graus de liberdade para o teste qui-quadrado. A fórmula é:
Neste caso, temos 6 intervalos e estamos assumindo
e
já conhecidos, então não estimamos parâmetros adicionais. Portanto:
Passo 8
Agora, vamos encontrar o valor tabelado de
para
e 5 graus de liberdade. Consultando a tabela qui-quadrado, encontramos:
Resposta
O valor tabelado de
para
e 5 graus de liberdade é 11,070.