Deseja-se verificar se a afirmação de que a percentagem de cinza contidas em carvão produzido por uma indústria segue distribuição normal. Os resultados seguem:
Cinzas (em %) Frequência observada
<13,5 7
13,5 mid---16,5 43
16,5 mid----22,5 201
22,5 mid----25,5 39
25,5 mid----28,5 8
>28,5 2
Assumindo mu=19,5 e sigma=3 faça o teste qui-quadrado de ajustamento
(29.3) Obtenha o valor tabelado quando alpha=0,05

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer verificar se a porcentagem de cinza no carvão produzido por uma indústria segue uma distribuição normal. Para isso, vamos usar o teste qui-quadrado de ajustamento. Precisamos dos dados de frequência observada e das informações da distribuição normal que estamos assumindo, que são a média ( mu = 19,5) e o desvio padrão ( sigma = 3).

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos diferentes intervalos de porcentagem de cinza e a frequência observada em cada intervalo:
Cinzas (em %) Frequência Observada
<13,5 7
13,5 mid---16,5 43
16,5 mid----22,5 201
22,5 mid----25,5 39
25,5 mid----28,5 8
>28,5 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a frequência esperada para cada intervalo, assumindo que a distribuição é normal com mu = 19,5 e sigma = 3. Para isso, usamos a função de distribuição acumulada da normal (CDF) para encontrar a probabilidade de uma observação cair em cada intervalo e multiplicamos pelo total de observações para achar a frequência esperada.
Primeiro, somamos todas as frequências observadas para encontrar o total de observações:
N = 7 + 43 + 201 + 39 + 8 + 2 = 300

Passo 4

Agora, vamos calcular as probabilidades para cada intervalo usando a CDF da normal. As fórmulas para cada limite são:
P(a <= X < b) = Phi(b - musigma) - Phi(a - musigma)
Onde Phi é a função de distribuição acumulada da normal.
Vamos calcular para cada intervalo:
  1. <13,5:
z = 13,5 - 19,53 = -2
P(X < 13,5) = Phi(-2) approx 0,0228
  1. 13,5 mid---16,5:
z1 = 13,5 - 19,53 = -2
z2 = 16,5 - 19,53 = -1
P(13,5 <= X < 16,5) = Phi(-1) - Phi(-2) approx 0,1587 - 0,0228 = 0,1359
  1. 16,5 mid----22,5:
z1 = 16,5 - 19,53 = -1
z2 = 22,5 - 19,53 = 1
P(16,5 <= X < 22,5) = Phi(1) - Phi(-1) approx 0,8413 - 0,1587 = 0,6826
  1. 22,5 mid----25,5:
z1 = 22,5 - 19,53 = 1
z2 = 25,5 - 19,53 = 2
P(22,5 <= X < 25,5) = Phi(2) - Phi(1) approx 0,9772 - 0,8413 = 0,1359
  1. 25,5 mid----28,5:
z1 = 25,5 - 19,53 = 2
z2 = 28,5 - 19,53 = 3
P(25,5 <= X < 28,5) = Phi(3) - Phi(2) approx 0,9987 - 0,9772 = 0,0215
  1. >28,5:
z = 28,5 - 19,53 = 3
P(X > 28,5) = 1 - Phi(3) approx 1 - 0,9987 = 0,0013

Passo 5

Agora, vamos calcular a frequência esperada para cada intervalo multiplicando a probabilidade pelo total de observações ( N = 300):
  1. <13,5:
E1 = 300 times 0,0228 approx 6,84
  1. 13,5 mid---16,5:
E2 = 300 times 0,1359 approx 40,77
  1. 16,5 mid----22,5:
E3 = 300 times 0,6826 approx 204,78
  1. 22,5 mid----25,5:
E4 = 300 times 0,1359 approx 40,77
  1. 25,5 mid----28,5:
E5 = 300 times 0,0215 approx 6,45
  1. >28,5:
E6 = 300 times 0,0013 approx 0,39

Passo 6

Vamos agora calcular o estatístico qui-quadrado usando a fórmula:
chi^2 = sum (Oi - Ei)^2Ei
Onde Oi são as frequências observadas e Ei as esperadas.
Vamos calcular para cada intervalo:
  1. <13,5:
(7 - 6,84)^26,84 = (0,16)^26,84 approx 0,0037
  1. 13,5 mid---16,5:
(43 - 40,77)^240,77 = (2,23)^240,77 approx 0,122
  1. 16,5 mid----22,5:
(201 - 204,78)^2204,78 = (-3,78)^2204,78 approx 0,0698
  1. 22,5 mid----25,5:
(39 - 40,77)^240,77 = (-1,77)^240,77 approx 0,077
  1. 25,5 mid----28,5:
(8 - 6,45)^26,45 = (1,55)^26,45 approx 0,372
  1. >28,5:
(2 - 0,39)^20,39 = (1,61)^20,39 approx 6,66
Agora, somamos todos esses valores para obter o valor de chi^2:
chi^2 approx 0,0037 + 0,122 + 0,0698 + 0,077 + 0,372 + 6,66 approx 7,3045

Passo 7

Agora, precisamos determinar os graus de liberdade para o teste qui-quadrado. A fórmula é:
Graus de liberdade = Número de intervalos - 1 - Número de parâmetros estimados úúâ
Neste caso, temos 6 intervalos e estamos assumindo mu e sigma já conhecidos, então não estimamos parâmetros adicionais. Portanto:
Graus de liberdade = 6 - 1 - 0 = 5

Passo 8

Agora, vamos encontrar o valor tabelado de chi^2 para alpha = 0,05 e 5 graus de liberdade. Consultando a tabela qui-quadrado, encontramos:
chi^2crítico = 11,070 í

Resposta

O valor tabelado de chi^2 para alpha = 0,05 e 5 graus de liberdade é 11,070.

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