Deseja-se verificar se a afirmação de que a percentagem de cinza contidas em carvão produzido por uma indústria segue distribuição normal. Os resultados seguem:
Cinzas (em %) | Frequência observada |
---|---|
|
7 |
|
43 |
|
201 |
|
39 |
|
8 |
|
2 |
Assumindo
e
faça o teste qui-quadrado de ajustamento
(29.4) Qual a decisão?
(29.4) Qual a decisão?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de teste Qui-quadrado para ajustar os dados de cinzas no carvão. A ideia aqui é verificar se a distribuição das porcentagens de cinza segue uma distribuição normal. Para isso, vamos usar a média (
) e o desvio padrão (
) fornecidos. Precisamos calcular os valores esperados para cada intervalo e comparar com as frequências observadas usando a fórmula do Qui-quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os intervalos de cinzas e as respectivas frequências observadas:
-
: 7 -
: 43 -
: 201 -
: 39 -
: 8 -
: 2
Passo 3
Agora, vamos calcular os limites intermediários de cada intervalo para facilitar os cálculos:
-
, -
, -
, -
, -
, -
,
Passo 4
Para cada intervalo, vamos calcular a probabilidade de uma observação cair nele usando a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição normal. A fórmula da probabilidade para um intervalo é:
Onde
é a função CDF da distribuição normal.
Passo 5
Vamos calcular cada probabilidade:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, multiplicamos cada probabilidade pelo total de observações para obter as frequências esperadas (
). O total de observações é
.
Passo 7
Agora, calculamos o valor do teste Qui-quadrado usando a fórmula:
Onde
são as frequências observadas e
são as frequências esperadas.
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Passo 8
Agora, vamos determinar os graus de liberdade. A fórmula é:
Onde
é o número de categorias e
é o número de parâmetros estimados. Aqui,
e
(
e
).
Então,
Passo 9
Consultando a tabela Qui-quadrado com 3 graus de liberdade e um nível de significância de 5% (valor crítico ≈ 7,815), comparamos nosso valor calculado (
).
Como
, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Não há evidências suficientes para rejeitar que a percentagem de cinza no carvão segue uma distribuição normal.