Deseja-se verificar se a afirmação de que a percentagem de cinza contidas em carvão produzido por uma indústria segue distribuição normal. Os resultados seguem:
Cinzas (em %) Frequência observada
<13,5 7
13,5 mid---16,5 43
16,5 mid----22,5 201
22,5 mid----25,5 39
25,5 mid----28,5 8
>28,5 2
Assumindo mu=19,5 e sigma=3 faça o teste qui-quadrado de ajustamento
(29.4) Qual a decisão?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de teste Qui-quadrado para ajustar os dados de cinzas no carvão. A ideia aqui é verificar se a distribuição das porcentagens de cinza segue uma distribuição normal. Para isso, vamos usar a média ( mu = 19,5) e o desvio padrão ( sigma = 3) fornecidos. Precisamos calcular os valores esperados para cada intervalo e comparar com as frequências observadas usando a fórmula do Qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os intervalos de cinzas e as respectivas frequências observadas:
  • <13,5% : 7
  • 13,5-16,5% : 43
  • 16,5-22,5% : 201
  • 22,5-25,5% : 39
  • 25,5-28,5% : 8
  • >28,5% : 2

Passo 3

Agora, vamos calcular os limites intermediários de cada intervalo para facilitar os cálculos:
  • a1 = -infty, b1 = 13,5
  • a2 = 13,5, b2 = 16,5
  • a3 = 16,5, b3 = 22,5
  • a4 = 22,5, b4 = 25,5
  • a5 = 25,5, b5 = 28,5
  • a6 = 28,5, b6 = infty

Passo 4

Para cada intervalo, vamos calcular a probabilidade de uma observação cair nele usando a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição normal. A fórmula da probabilidade para um intervalo é:
P(a <= X < b) = Phi(b - musigma) - Phi(a - musigma)
Onde Phi é a função CDF da distribuição normal.

Passo 5

Vamos calcular cada probabilidade:
  1. Para <13,5%:
P(X < 13,5) = Phi(13,5 - 19,53) = Phi(-2) approx 0,0228
  1. Para 13,5-16,5%:
P(13,5 <= X < 16,5) = Phi(16,5 - 19,53) - Phi(13,5 - 19,53) = Phi(-1) - Phi(-2) approx 0,1587 - 0,0228 = 0,1359
  1. Para 16,5-22,5%:
P(16,5 <= X < 22,5) = Phi(22,5 - 19,53) - Phi(16,5 - 19,53) = Phi(1) - Phi(-1) approx 0,8413 - 0,1587 = 0,6826
  1. Para 22,5-25,5%:
P(22,5 <= X < 25,5) = Phi(25,5 - 19,53) - Phi(22,5 - 19,53) = Phi(2) - Phi(1) approx 0,9772 - 0,8413 = 0,1359
  1. Para 25,5-28,5%:
P(25,5 <= X < 28,5) = Phi(28,5 - 19,53) - Phi(25,5 - 19,53) = Phi(3) - Phi(2) approx 0,9987 - 0,9772 = 0,0215
  1. Para >28,5%:
P(X > 28,5) = 1 - Phi(28,5 - 19,53) = 1 - Phi(3) approx 1 - 0,9987 = 0,0013

Passo 6

Agora, multiplicamos cada probabilidade pelo total de observações para obter as frequências esperadas ( Ei). O total de observações é 7 + 43 + 201 + 39 + 8 + 2 = 300.
  1. E1 = 0,0228 times 300 approx 6,84
  2. E2 = 0,1359 times 300 approx 40,77
  3. E3 = 0,6826 times 300 approx 204,78
  4. E4 = 0,1359 times 300 approx 40,77
  5. E5 = 0,0215 times 300 approx 6,45
  6. E6 = 0,0013 times 300 approx 0,39

Passo 7

Agora, calculamos o valor do teste Qui-quadrado usando a fórmula:
chi^2 = sum (Oi - Ei)^2Ei
Onde Oi são as frequências observadas e Ei são as frequências esperadas.
Vamos calcular cada termo:
  1. (7 - 6,84)^26,84 approx 0,0276,84 approx 0,004
  2. (43 - 40,77)^240,77 approx 4,9340,77 approx 0,121
  3. (201 - 204,78)^2204,78 approx 14,28204,78 approx 0,070
  4. (39 - 40,77)^240,77 approx 3,1340,77 approx 0,077
  5. (8 - 6,45)^26,45 approx 2,406,45 approx 0,372
  6. (2 - 0,39)^20,39 approx 2,570,39 approx 6,590
Somando tudo:
chi^2 approx 0,004 + 0,121 + 0,070 + 0,077 + 0,372 + 6,590 approx 7,234

Passo 8

Agora, vamos determinar os graus de liberdade. A fórmula é:
gl = n - p - 1
Onde n é o número de categorias e p é o número de parâmetros estimados. Aqui, n = 6 e p = 2 ( mu e sigma).
Então,
gl = 6 - 2 - 1 = 3

Passo 9

Consultando a tabela Qui-quadrado com 3 graus de liberdade e um nível de significância de 5% (valor crítico ≈ 7,815), comparamos nosso valor calculado ( 7,234).
Como 7,234 < 7,815, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências suficientes para rejeitar que a percentagem de cinza no carvão segue uma distribuição normal.

Exercícios relacionados