Com a finalidade de estimar o peso médio (em quilos) das crianças de 15 anos de idade em determinada região geográfica, selecionaram-se aleatoriamente 10 crianças que forneceram uma média de 38,4 quilos e um desvio padrão de 5,5 quilos. Determine um intervalo de confiança a
para a média. (1,0)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer que a gente estime o peso médio das crianças de 15 anos numa certa região. Para isso, temos uma amostra de 10 crianças com média de 38,4 kg e desvio padrão de 5,5 kg. Nosso objetivo é determinar um intervalo de confiança de 95% para essa média. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente de Intervalo de Confiança para a média, e precisaremos usar a distribuição t de Student porque a amostra é pequena e não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular um intervalo de confiança para a média quando a amostra é pequena e o desvio padrão da população é desconhecido. A fórmula é:
Onde:
-
é a média da amostra. -
é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da amostra. -
é o tamanho da amostra.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que já temos:
- Média da amostra (
) = 38,4 kg - Desvio padrão da amostra (
) = 5,5 kg - Tamanho da amostra (
) = 10 - Nível de confiança = 95%, o que significa que
Como estamos usando a distribuição t, precisamos calcular os graus de liberdade, que são dados por
:
Passo 4
Com os graus de liberdade em mãos, vamos encontrar o valor crítico
correspondente a 95% de confiança e 9 graus de liberdade. Consultando uma tabela de distribuição t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é
:
Em seguida, calculamos a margem de erro, multiplicando o valor crítico
pelo erro padrão:
Passo 6
Finalmente, construímos o intervalo de confiança, somando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
Ou seja:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para o peso médio das crianças de 15 anos nessa região é aproximadamente entre 34,46 kg e 42,34 kg.