Com a finalidade de estimar o peso médio (em quilos) das crianças de 15 anos de idade em determinada região geográfica, selecionaram-se aleatoriamente 10 crianças que forneceram uma média de 38,4 quilos e um desvio padrão de 5,5 quilos. Determine um intervalo de confiança a 95 % para a média. (1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer que a gente estime o peso médio das crianças de 15 anos numa certa região. Para isso, temos uma amostra de 10 crianças com média de 38,4 kg e desvio padrão de 5,5 kg. Nosso objetivo é determinar um intervalo de confiança de 95% para essa média. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente de Intervalo de Confiança para a média, e precisaremos usar a distribuição t de Student porque a amostra é pequena e não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular um intervalo de confiança para a média quando a amostra é pequena e o desvio padrão da população é desconhecido. A fórmula é:
Intervalo de Confiança = barx pm talpha/2 ( sraizn ) ç
Onde:
  • é a média da amostra.
  • é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado.
  • é o desvio padrão da amostra.
  • é o tamanho da amostra.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que já temos:
  • Média da amostra ( Graus de liberdade = 10 - 1 = 9 ) = 38,4 kg
  • Desvio padrão da amostra ( ) = 5,5 kg
  • Tamanho da amostra ( ) = 10
  • Nível de confiança = 95%, o que significa que
Como estamos usando a distribuição t, precisamos calcular os graus de liberdade, que são dados por :

Passo 4

Com os graus de liberdade em mãos, vamos encontrar o valor crítico t0,025 approx 2,262 correspondente a 95% de confiança e 9 graus de liberdade. Consultando uma tabela de distribuição t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que:

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é 5,5raiz10 approx 5,53,162 approx 1,738 :
2,262 times 1,738 approx 3,936
Em seguida, calculamos a margem de erro, multiplicando o valor crítico pelo erro padrão:

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança, somando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
38,4 pm 3,936
Ou seja:
38,4 - 3,936 = 34,464
38,4 + 3,936 = 42,336

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o peso médio das crianças de 15 anos nessa região é aproximadamente entre 34,46 kg e 42,34 kg.

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