Se desejamos encontrar a solução de uma EDO não homogênea é preciso:
- Obter uma solução geral para a equação homogênea relacionada;
- Obter uma solução particular;
- A solução geral da equação não homogênea será a combinação da solução da EDO homogênea associada com a solução particular. Considere a equação diferencial ordinária linear não homogênea de segunda ordem dada por y’’(x)+2y’(x)+y(x)=e-x Assinale a alternativa que expressa a solução para essa EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não homogênea de segunda ordem. Para isso, vamos precisar:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
- Encontrar uma solução particular da equação não homogênea.
- Somar essas duas soluções para obter a solução geral da equação original.
Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação homogênea associada, que é igualando o lado direito a zero:
Passo 3
Para resolver essa equação homogênea, usamos o método das equações características. Assumimos soluções da forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é um número que vamos encontrar.
Passo 4
Substituindo $ y = e^{rx} $ na equação homogênea, obtemos:
Dividindo todos os termos por $ e^{rx} $ (que nunca é zero), teremos:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática característica:
Para resolver, podemos fatorar:
Passo 6
Encontramos uma raiz dupla $ r = -1 $. Quando isso acontece, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se tivermos).
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação não homogênea:
Observamos que o lado direito é $ e^{-x} $, que já está presente na solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar por $ x $ para assumir a forma da solução particular e evitar duplicação.
Passo 8
Assumimos uma solução particular da forma:
Onde $ A $ é uma constante a ser encontrada.
Passo 9
Calculamos as derivadas de $ y_p(x) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 10
Substituímos $ y_p(x) $, $ y_p’(x) $ e $ y_p’’(x) $ na equação original:
Simplificando:
Os termos com $ A x e^{-x} $ se cancelam:
Isso nos mostra que houve um erro na suposição inicial. Por causa da raiz dupla, precisamos multiplicar por $ x^2 $:
Passo 11
Vamos recalcular as derivadas com a nova suposição:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 12
Substituímos novamente na equação original:
Simplificando:
Os termos com $ x e^{-x} $ e $ x^2 e^{-x} $ se cancelam:
Passo 13
Agora, igualamos os coeficientes:
Resposta
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que dependem das condições iniciais dadas.