Se desejamos encontrar a solução de uma EDO não homogênea é preciso:
  • Obter uma solução geral para a equação homogênea relacionada;
  • Obter uma solução particular;
  • A solução geral da equação não homogênea será a combinação da solução da EDO homogênea associada com a solução particular. Considere a equação diferencial ordinária linear não homogênea de segunda ordem dada por y’’(x)+2y’(x)+y(x)=e-x Assinale a alternativa que expressa a solução para essa EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não homogênea de segunda ordem. Para isso, vamos precisar:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
  2. Encontrar uma solução particular da equação não homogênea.
  3. Somar essas duas soluções para obter a solução geral da equação original.
Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação homogênea associada, que é igualando o lado direito a zero:
y''(x) + 2y'(x) + y(x) = 0

Passo 3

Para resolver essa equação homogênea, usamos o método das equações características. Assumimos soluções da forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é um número que vamos encontrar.

Passo 4

Substituindo $ y = e^{rx} $ na equação homogênea, obtemos:
y = e^rx
Dividindo todos os termos por $ e^{rx} $ (que nunca é zero), teremos:
r^2 e^rx + 2r e^rx + e^rx = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática característica:
r^2 + 2r + 1 = 0
Para resolver, podemos fatorar:
(r + 1)^2 = 0 implies r = -1

Passo 6

Encontramos uma raiz dupla $ r = -1 $. Quando isso acontece, a solução geral da equação homogênea é:
r = -1
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se tivermos).

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação não homogênea:
yp(x)
Observamos que o lado direito é $ e^{-x} $, que já está presente na solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar por $ x $ para assumir a forma da solução particular e evitar duplicação.

Passo 8

Assumimos uma solução particular da forma:
yp(x) = A x e^-x
Onde $ A $ é uma constante a ser encontrada.

Passo 9

Calculamos as derivadas de $ y_p(x) $:
Primeira derivada:
yp(x)
Segunda derivada:
yp'(x) = A e^-x + A x (-e^-x) = A e^-x - A x e^-x

Passo 10

Substituímos $ y_p(x) $, $ y_p’(x) $ e $ y_p’’(x) $ na equação original:
yp(x)
Simplificando:
yp'(x)
Os termos com $ A x e^{-x} $ se cancelam:
yp''(x)
Isso nos mostra que houve um erro na suposição inicial. Por causa da raiz dupla, precisamos multiplicar por $ x^2 $:
(-2A e^-x + A x e^-x) + 2(A e^-x - A x e^-x) + A x e^-x = e^-x

Passo 11

Vamos recalcular as derivadas com a nova suposição:
Primeira derivada:
yp'(x) = 2A x e^-x + A x^2 (-e^-x) = 2A x e^-x - A x^2 e^-x
Segunda derivada:
yp''(x) = 2A e^-x - 2A x e^-x - 2A x e^-x + A x^2 e^-x = 2A e^-x - 4A x e^-x + A x^2 e^-x

Passo 12

Substituímos novamente na equação original:
(2A e^-x - 4A x e^-x + A x^2 e^-x) + 2(2A x e^-x - A x^2 e^-x) + A x^2 e^-x = e^-x
Simplificando:
2A e^-x - 4A x e^-x + A x^2 e^-x + 4A x e^-x - 2A x^2 e^-x + A x^2 e^-x = e^-x
Os termos com $ x e^{-x} $ e $ x^2 e^{-x} $ se cancelam:
x e^-x

Passo 13

Agora, igualamos os coeficientes:
2A = 1 implies A = 12

Resposta

Então, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^-x + 12 x^2 e^-x
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que dependem das condições iniciais dadas.

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