O plano passa pelos pontos A(-3,1,-2) e B(1,-1,4) e é paralelo à reta r:x/2=z/-3;y=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um plano que passa pelos pontos A(-3, 1, -2) e B(1, -1, 4) e que é paralelo à reta dada pela equação x2 = z-3; y = 4. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação desse plano. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica, como vetores direcionais e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de A para B, que a gente chama de vetor AB. Esse vetor é dado pela diferença das coordenadas de B e A:
AB = B - A = (1 - (-3),; -1 - 1,; 4 - (-2)) = (4,; -2,; 6)

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta que é paralela ao plano. A equação dada é x2 = z-3; y = 4. A partir dessa equação, podemos identificar o vetor diretor da reta. Observando os coeficientes de x e z, vemos que o vetor diretor é:
d = (2,; 0,; -3)
(Note que y = 4 indica que a reta é paralela ao eixo x-z e que y é constante.)

Passo 4

Para encontrar o vetor normal ao plano, precisamos de dois vetores que estão no plano. Nós já temos o vetor AB e o vetor d que é paralelo ao plano. O vetor normal é perpendicular a ambos, então podemos usar o produto vetorial entre AB e d:
n = AB times d = i & j & k 4 & -2 & 6 2 & 0 & -3
Calculando o determinante:
n = i((-2)(-3) - (6)(0)) - j((4)(-3) - (6)(2)) + k((4)(0) - (-2)(2))
= i(6 - 0) - j(-12 - 12) + k(0 + 4)
= 6i + 24j + 4k
Então, o vetor normal é n = (6,; 24,; 4). Podemos simplificar dividindo por 2:
n = (3,; 12,; 2)

Passo 5

Com o vetor normal n = (3,; 12,; 2) e um ponto que está no plano, por exemplo, o ponto A(-3, 1, -2), podemos escrever a equação do plano na forma:
3(x - (-3)) + 12(y - 1) + 2(z - (-2)) = 0
3(x + 3) + 12(y - 1) + 2(z + 2) = 0
Expandindo os termos:
3x + 9 + 12y - 12 + 2z + 4 = 0
3x + 12y + 2z + 1 = 0

Resposta

A equação do plano é:
3x + 12y + 2z + 1 = 0

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