Desejando pagar um empréstimo de
em cinco prestações mensais consecutivas, um cliente de uma instituição financeira tem duas opções distintas.
- Opção 1 - Cada prestação é constituída por 20% do valor total do empréstimo acrescido de 5% de juros, calculados sobre o saldo devedor, determinado pela expressão
.
- Opção 2 - Cada prestação é constituída por 50% do saldo devedor - exceto a última, em que o saldo deve ser pago integralmente - acrescido de 5% de juros, calculados sobre esse saldo devedor, determinado pela expressão
.
Considerando-se que, nos dois casos, o pagamento da primeira parcela deve ser feito um mês após a efetivação do empréstimo e sem atraso nos pagamentos, pode-se afirmar:
- O valor da segunda prestação, calculado pela Opção 1, corresponde a
do valor total do empréstimo.
- O montante no pagamento das três primeiras prestações, calculadas pela Opção 1, é de R$7300,00.
- A parcela referente aos juros contidos em cada prestação, calculada pela Opção 2, pode ser obtida através da expressão
.
- O valor da menor prestação, considerando-se a Opção 2, é
.
- Sendo
e
os valores totais dos juros calculados pela Opção 1 e pela Opção 2, respectivamente, a diferença
é positiva.
- De acordo com a Opção 1, o valor total a ser pago é equivalente ao valor do empréstimo acrescido de juros simples de
ao mês.
Considerando-se que, nos dois casos, o pagamento da primeira parcela deve ser feito um mês após a efetivação do empréstimo e sem atraso nos pagamentos, pode-se afirmar:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre pagamento de empréstimo de R$10.000,00 em cinco parcelas mensais, com duas opções diferentes de pagamento. A matéria envolvida aqui é Juros Simples e Sistemas de Amortização. Vamos precisar entender como as duas opções funcionam, calcular o valor das prestações, os juros e comparar os resultados para verificar as afirmações apresentadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Opção 1: Cada prestação é 20% do valor total do empréstimo mais 5% de juros sobre o saldo devedor. O saldo devedor após cada pagamento é dado por
, onde
é o número da prestação (1 a 5).
Passo 3
Vamos calcular a segunda prestação na Opção 1 para verificar a afirmação 1. Primeiro, sabemos que cada parcela base é 20% de R$10.000,00, ou seja, R$2.000,00. Os juros são 5% sobre o saldo devedor antes do pagamento.
Para a segunda prestação (
):
- Saldo devedor antes do pagamento:
- Juros:
de R$8.000,00 = - Valor da prestação: R$2.000,00 + R$400,00 = R$2.400,00
- Percentual em relação ao empréstimo:
Passo 4
A afirmação 1 diz que o valor da segunda prestação na Opção 1 é 24% do valor total do empréstimo. Conforme calculamos, realmente é R$2.400,00, que corresponde a 24% de R$10.000,00. Então, a afirmação 1 está correta.
Passo 5
Vamos agora verificar a afirmação 2: O montante pago nas três primeiras prestações pela Opção 1 é de R$7.300,00.
Vamos calcular cada uma das três primeiras prestações:
-
Primeira prestação (
): - Saldo devedor:
- Juros:
de R$10.000,00 = R$500,00 - Prestação: R$2.000,00 + R$500,00 = R$2.500,00
- Saldo devedor:
-
Segunda prestação (
): - Já calculamos: R$2.400,00
-
Terceira prestação (
): - Saldo devedor:
- Juros:
de R$6.000,00 = R$300,00 - Prestação: R$2.000,00 + R$300,00 = R$2.300,00
- Saldo devedor:
Somando as três prestações: R$2.500,00 + R$2.400,00 + R$2.300,00 = R$7.200,00
A afirmação 2 diz que o montante é R$7.300,00, mas calculamos R$7.200,00. Então, a afirmação 2 está incorreta.
Passo 6
Agora, vamos para a afirmação 3: Os juros em cada prestação da Opção 2 podem ser calculados por
.
Primeiro, entendamos a Opção 2: Cada prestação é 50% do saldo devedor, exceto a última, que paga o saldo total, mais 5% de juros sobre o saldo devedor. O saldo devedor é dado por
.
Vamos calcular os juros para alguns valores de
:
-
Para
: - Saldo devedor:
- Juros:
de R$10.000,00 = R$500,00 - Segundo a expressão proposta:
✔️
- Saldo devedor:
-
Para
: - Saldo devedor:
- Juros:
de R$5.000,00 = R$250,00 - Expressão:
✔️
- Saldo devedor:
-
Para
: - Saldo devedor:
- Juros:
de R$2.500,00 = R$125,00 - Expressão:
✔️
- Saldo devedor:
Parece que a expressão está funcionando corretamente para os juros. Portanto, a afirmação 3 está correta.
Passo 7
Vamos verificar a afirmação 4: O valor da menor prestação na Opção 2 é R$656,25.
Na Opção 2, as prestações são 50% do saldo devedor mais 5% de juros, exceto a última, que paga o saldo total mais juros.
Vamos calcular todas as prestações:
-
Primeira prestação (
): - Saldo devedor: R$10.000,00
- Juros: R$500,00
- Parcela: 50% de R$10.000,00 + R$500,00 = R$5.000,00 + R$500,00 = R$5.500,00
-
Segunda prestação (
): - Saldo devedor: R$5.000,00
- Juros: R$250,00
- Parcela: 50% de R$5.000,00 + R$250,00 = R$2.500,00 + R$250,00 = R$2.750,00
-
Terceira prestação (
): - Saldo devedor: R$2.500,00
- Juros: R$125,00
- Parcela: 50% de R$2.500,00 + R$125,00 = R$1.250,00 + R$125,00 = R$1.375,00
-
Quarta prestação (
): - Saldo devedor: R$1.250,00
- Juros: R$62,50
- Parcela: 50% de R$1.250,00 + R$62,50 = R$625,00 + R$62,50 = R$687,50
-
Quinta prestação (
): - Saldo devedor: R$625,00
- Juros: R$31,25
- Parcela: Saldo total + juros = R$625,00 + R$31,25 = R$656,25
A menor prestação é de R$656,25, confirmando a afirmação. Então, a afirmação 4 está correta.
Passo 8
Vamos analisar a afirmação 5: A diferença entre os juros totais das Opção 1 e Opção 2 (
) é positiva.
Primeiro, precisamos calcular os juros totais em cada opção.
Opção 1:
Calculamos as três primeiras parcelas, mas precisamos completar todas as cinco:
-
Prestação 4 (
): - Saldo devedor:
- Juros: 5% de R$4.000,00 = R$200,00
- Parcela: R$2.000,00 + R$200,00 = R$2.200,00
- Saldo devedor:
-
Prestação 5 (
): - Saldo devedor:
- Juros: 5% de R$2.000,00 = R$100,00
- Parcela: R$2.000,00 + R$100,00 = R$2.100,00
- Saldo devedor:
Total de juros na Opção 1: R$500,00 + R$400,00 + R$300,00 + R$200,00 + R$100,00 = R$1.500,00
Opção 2:
Já calculamos os juros de cada prestação:
- R$500,00 + R$250,00 + R$125,00 + R$62,50 + R$31,25 = R$968,75
Diferença:
(positivo)
Portanto, a afirmação 5 está correta.
Passo 9
Por fim, a afirmação 6: Na Opção 1, o valor total a ser pago é equivalente ao valor do empréstimo acrescido de juros simples de 5% ao mês.
Vamos calcular o total pago na Opção 1:
Soma das prestações: R$2.500,00 + R$2.400,00 + R$2.300,00 + R$2.200,00 + R$2.100,00 = R$11.500,00
Juros simples seriam calculados sobre o valor inicial de R$10.000,00 ao longo de 5 meses:
Juros:
Total com juros simples: R$10.000,00 + R$2.500,00 = R$12.500,00
Como na Opção 1 o total pago foi R$11.500,00, que é menor que R$12.500,00, a afirmação 6 está incorreta.
Resposta
- Correta
- Incorreta
- Correta
- Correta
- Correta
- Incorreta