Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao preço de
cada um. O proprietário observa que, para cada
que diminui no preço, a quantidade vendida aumenta em cerca de 20 sanduíches. Considerando o custo de R
para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma lanchonete que vende, em média, 200 sanduíches por noite, cada um custando R$ 3,00. O dono percebe que, para cada redução de R$ 0,10 no preço, a venda aumenta em 20 sanduíches. Sabendo que custa R$ 1,50 para produzir cada sanduíche, queremos descobrir qual preço de venda vai trazer o maior lucro para o proprietário. O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções de lucro e maximização de funções quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o preço afeta a quantidade vendida. Se o preço diminui R$ 0,10 e a venda aumenta 20 sanduíches, podemos definir uma variável para representar quantas vezes essa redução de preço acontece.
Vamos chamar de
o número de vezes que diminuímos R$ 0,10 no preço inicial.
Passo 3
Com base nisso, podemos expressar o novo preço
e a nova quantidade
:
Isso significa que para cada
, ajustamos o preço e a quantidade conforme essas equações.
Passo 4
Agora, vamos calcular o lucro. O lucro é dado pela diferença entre a receita total e o custo total.
A receita
é o preço multiplicado pela quantidade:
O custo
é o custo de produção multiplicado pela quantidade:
Passo 5
Portanto, o lucro
é:
Substituindo as expressões de
e
:
Passo 6
Vamos expandir e simplificar essa expressão para encontrar uma função quadrática em termos de
:
Então, temos a função do lucro:
Passo 7
Para encontrar o valor de
que maximiza o lucro, vamos encontrar o vértice dessa parábola. A fórmula para o vértice de uma função quadrática
é:
Aqui,
e
.
Passo 8
Agora que sabemos que
, vamos encontrar o preço correspondente usando a equação do preço:
Resposta
O preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é R$ 2,75.