Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao preço de R cada um. O proprietário observa que, para cada cada um O proprietário observa que, para cada que diminui no preço, a quantidade vendida aumenta em cerca de 20 sanduíches. Considerando o custo de R 0,10 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é
a) .
b) para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é a) .
c) 2,50.
d) R .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma lanchonete que vende, em média, 200 sanduíches por noite, cada um custando R$ 3,00. O dono percebe que, para cada redução de R$ 0,10 no preço, a venda aumenta em 20 sanduíches. Sabendo que custa R$ 1,50 para produzir cada sanduíche, queremos descobrir qual preço de venda vai trazer o maior lucro para o proprietário. O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções de lucro e maximização de funções quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o preço afeta a quantidade vendida. Se o preço diminui R$ 0,10 e a venda aumenta 20 sanduíches, podemos definir uma variável para representar quantas vezes essa redução de preço acontece.
Vamos chamar de  0,10 e a venda aumenta 20 sanduíches, podemos definir uma variável para representar quantas vezes essa redução de preço acontece Vamos chamar de ( x ) o número de vezes que diminuímos R o número de vezes que diminuímos R$ 0,10 no preço inicial.

Passo 3

Com base nisso, podemos expressar o novo preço P = 3,00 - 0,10x e a nova quantidade Q = 200 + 20x :
Isso significa que para cada , ajustamos o preço e a quantidade conforme essas equações.

Passo 4

Agora, vamos calcular o lucro. O lucro é dado pela diferença entre a receita total e o custo total.
A receita R = P times Q = (3,00 - 0,10x)(200 + 20x) é o preço multiplicado pela quantidade:
C = 1,50 times Q = 1,50 times (200 + 20x)
O custo é o custo de produção multiplicado pela quantidade:

Passo 5

Portanto, o lucro L = R - C é:
L = (3,00 - 0,10x)(200 + 20x) - 1,50(200 + 20x)
Substituindo as expressões de e :

Passo 6

Vamos expandir e simplificar essa expressão para encontrar uma função quadrática em termos de L = (3,00 times 200) + (3,00 times 20x) - (0,10x times 200) - (0,10x times 20x) - 1,50 times 200 - 1,50 times 20x :
L = 600 + 60x - 20x - 2x^2 - 300 - 30x
L = (600 - 300) + (60x - 20x - 30x) - 2x^2
L = 300 + 10x - 2x^2
L(x) = -2x^2 + 10x + 300
Então, temos a função do lucro:

Passo 7

Para encontrar o valor de x = -b2a que maximiza o lucro, vamos encontrar o vértice dessa parábola. A fórmula para o vértice de uma função quadrática x = -102 times (-2) é:
x = -10-4
Aqui, x = 2,5 e .

Passo 8

Agora que sabemos que P = 3,00 - 0,10x , vamos encontrar o preço correspondente usando a equação do preço:
P = 3,00 - 0,10 times 2,5
P = 3,00 - 0,25
P = 2,75

Resposta

O preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é R$ 2,75.

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