Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao preço de cada um. O proprietário observa que, para cada que diminui no preço, a quantidade vendida aumenta em cerca de 20 sanduíches. Considerando o custo de R para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é
a) .
b) .
c) .
d) .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma lanchonete que vende, em média, 200 sanduíches por noite, cada um custando R$ 3,00. O dono percebe que, para cada redução de R$ 0,10 no preço, a venda aumenta em 20 sanduíches. Sabendo que custa R$ 1,50 para produzir cada sanduíche, queremos descobrir qual preço de venda vai trazer o maior lucro para o proprietário. O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções de lucro e maximização de funções quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o preço afeta a quantidade vendida. Se o preço diminui R$ 0,10 e a venda aumenta 20 sanduíches, podemos definir uma variável para representar quantas vezes essa redução de preço acontece.
Vamos chamar de o número de vezes que diminuímos R$ 0,10 no preço inicial.

Passo 3

Com base nisso, podemos expressar o novo preço e a nova quantidade :
Isso significa que para cada , ajustamos o preço e a quantidade conforme essas equações.

Passo 4

Agora, vamos calcular o lucro. O lucro é dado pela diferença entre a receita total e o custo total.
A receita é o preço multiplicado pela quantidade:
O custo é o custo de produção multiplicado pela quantidade:

Passo 5

Portanto, o lucro é:
Substituindo as expressões de e :

Passo 6

Vamos expandir e simplificar essa expressão para encontrar uma função quadrática em termos de :
Então, temos a função do lucro:

Passo 7

Para encontrar o valor de que maximiza o lucro, vamos encontrar o vértice dessa parábola. A fórmula para o vértice de uma função quadrática é:
Aqui, e .

Passo 8

Agora que sabemos que , vamos encontrar o preço correspondente usando a equação do preço:

Resposta

O preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é R$ 2,75.

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Tabela 2: Distribuição etária dos consumidores
Idade (em anos) n. de consumidores
10
15
24
37
14
Total 100
Fonte: Dados hipotéticos.
Pede-se:
(a) Determine a moda a partir do Método de Czuber (use quatro casas decimais). Interprete. Resposta: anos
Considerando que os dados são amostrais, pede-se:
(a) Determine média, moda, mediana, desvio-padrão e variância considerando os dados brutos (use quatro casas decimais.)
Resposta: 6,3800 segundos; 4,9000 segundos e 5,7000 segundos; 5,9500 segundos; 1,6766 segundos; 2,8110 segundos .
Desejando pagar um empréstimo de em cinco prestações mensais consecutivas, um cliente de uma instituição financeira tem duas opções distintas.
  • Opção 1 - Cada prestação é constituída por 20% do valor total do empréstimo acrescido de 5% de juros, calculados sobre o saldo devedor, determinado pela expressão .
  • Opção 2 - Cada prestação é constituída por 50% do saldo devedor - exceto a última, em que o saldo deve ser pago integralmente - acrescido de 5% de juros, calculados sobre esse saldo devedor, determinado pela expressão .
    Considerando-se que, nos dois casos, o pagamento da primeira parcela deve ser feito um mês após a efetivação do empréstimo e sem atraso nos pagamentos, pode-se afirmar:
  1. O valor da segunda prestação, calculado pela Opção 1, corresponde a do valor total do empréstimo.
  2. O montante no pagamento das três primeiras prestações, calculadas pela Opção 1, é de R$7300,00.
  3. A parcela referente aos juros contidos em cada prestação, calculada pela Opção 2, pode ser obtida através da expressão .
  4. O valor da menor prestação, considerando-se a Opção 2, é .
  5. Sendo e os valores totais dos juros calculados pela Opção 1 e pela Opção 2, respectivamente, a diferença é positiva.
  6. De acordo com a Opção 1, o valor total a ser pago é equivalente ao valor do empréstimo acrescido de juros simples de ao mês.
O senhor Haroldo deposita hoje e depositará daqui a 3 anos em um fundo que rende juros compostos à taxa de ao ano. Seu montante, daqui a 4 anos, pertencerá ao intervalo:
a)
b)
c)
d)
e)