Desenhar algumas curvas de nível, determinar as curvas de interseç̧ão com os eixos y z, x z e x y e esboçar o gráfico das funções a seguir. z = raiz(9 - x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é desenhar curvas de nível da função , encontrar onde essa função cruza os eixos , e , e, por fim, fazer um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies e curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para diferentes valores de , temos , e substituindo na função, conseguimos a equação da curva de nível correspondente.

Passo 3

Vamos definir , onde é uma constante. Substituindo na função dada:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Essa é a equação de um círculo com raio . Portanto, as curvas de nível são círculos concêntricos no plano com centro na origem e raios que variam conforme o valor de .

Passo 4

Agora, vamos determinar as curvas de interseção com os planos , e .
  • Interseção com o plano : Nesse caso, .
    Isso representa uma semicirculo no plano com raio 3.
  • Interseção com o plano : Aqui, .
    Também é um semicirculo no plano com raio 3.
  • Interseção com o plano : Para esse plano, .
    Essa é a circunferência no plano com raio 3.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função . Essa função representa uma semiesfera (metade de uma esfera) com raio 3, centrada na origem. As curvas de nível são círculos menores dentro do plano , e as interseções com os planos e mostram os semicirculos das laterais da semiesfera. No plano , a interseção é a borda da semiesfera.

Resposta

A função representa uma semiesfera de raio 3 centrada na origem. As curvas de nível são círculos concêntricos no plano com raio variando conforme . As interseções com os planos e são semicírculos de raio 3, e com o plano é a circunferência . O gráfico é uma semiesfera cujo esboço reflete essas interseções e curvas de nível.

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