Desenhar algumas curvas de nível, determinar as curvas de interseç̧ão com os eixos
e
e esboçar o gráfico das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é desenhar curvas de nível da função
, encontrar onde essa função cruza os eixos
,
e
, e, por fim, fazer um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies e curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
assume um valor constante. Ou seja, para diferentes valores de
, temos
, e substituindo na função, conseguimos a equação da curva de nível correspondente.
Passo 3
Vamos definir
, onde
é uma constante. Substituindo na função dada:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Essa é a equação de um círculo com raio
. Portanto, as curvas de nível são círculos concêntricos no plano
com centro na origem e raios que variam conforme o valor de
.
Passo 4
Agora, vamos determinar as curvas de interseção com os planos
,
e
.
-
Interseção com o plano
: Nesse caso, . Isso representa uma semicirculo no planocom raio 3. -
Interseção com o plano
: Aqui, . Também é um semicirculo no planocom raio 3. -
Interseção com o plano
: Para esse plano, . Essa é a circunferência no planocom raio 3.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
. Essa função representa uma semiesfera (metade de uma esfera) com raio 3, centrada na origem. As curvas de nível são círculos menores dentro do plano
, e as interseções com os planos
e
mostram os semicirculos das laterais da semiesfera. No plano
, a interseção é a borda da semiesfera.
Resposta
A função
representa uma semiesfera de raio 3 centrada na origem. As curvas de nível são círculos concêntricos no plano
com raio variando conforme
. As interseções com os planos
e
são semicírculos de raio 3, e com o plano
é a circunferência
. O gráfico é uma semiesfera cujo esboço reflete essas interseções e curvas de nível.