Desenhar as curvas de nível C_k para os valores de k dados: f(x, y) = (1/2) * raiz(x^2 + y^2) ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos as curvas de nível para a função nos valores de .
Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume o mesmo valor . Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular essa função e identificar quais pontos satisfazem a equação para cada .

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função ao valor :
Nosso objetivo é encontrar uma relação entre e para cada .

Passo 3

Para simplificar, multiplicamos ambos os lados da equação por 2:
Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

A equação representa uma circunferência no plano cartesiano com centro na origem e raio .
Portanto, cada valor de nos dá uma circunferência diferente.

Passo 5

Agora, vamos calcular os raios para cada valor de :
  • Para : → Ponto
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Com esses raios, podemos desenhar as curvas de nível:
  • : Apenas o ponto .
  • : Circunferência de raio 2.
  • : Circunferência de raio 4.
  • : Circunferência de raio 6.
  • : Circunferência de raio 8.
  • : Circunferência de raio 10.
Todas essas circunferências estão concentradas no mesmo ponto central, formando círculos maiores conforme aumenta.

Resposta

As curvas de nível para são circunferências com centro na origem e raios iguais a . Especificamente:
  • : Ponto
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
Dessa forma, ao desenhar essas curvas no plano cartesiano, teremos círculos concêntricos com raios crescentes de 0 a 10 unidades.

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