Mostre que a integral de linha
é nula, qualquer que seja a curva fechada
de classe
por partes.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que você mandou. A gente precisa mostrar que a integral de linha é igual a zero para qualquer curva fechada
que seja de classe
por partes. O conteúdo envolvido aqui é Cálculo Vetorial, especialmente integrais de linha e o Teorema de Green, que vamos usar para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Esse teorema faz uma conexão entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada e uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Basicamente, ele diz que:
Onde
e
são as funções que compõem a integral de linha, e
é a área dentro da curva
. Se conseguirmos mostrar que
em toda a região
, então a integral dupla será zero, e por consequência, a integral de linha também será zero.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso caso:
Agora, precisamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Observação: A derivada de
em relação a
é zero porque
não depende de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferença
:
Passo 6
Como a diferença
é igual a zero em toda a região
, a integral dupla no Teorema de Green também será zero:
Portanto, pela aplicação do Teorema de Green, a integral de linha original também é igual a zero.
Resposta
A integral de linha é igual a zero.
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para os valores de
dados:
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e
e esboçar o gráfico das funções a seguir.
Sejam
e
.
(a) Calcule o rotacional do campo .
(a) Calcule o rotacional do campo
Sejam
e
.
(b) Calcule , onde
é uma curva cujo traço é a circunferência centrada em
e de raio 1 .
Boa Prova.
(b) Calcule
Boa Prova.