Mostre que a integral de linha integralgamma(2 x sen y+4 e^x) d x+(x^2 cos y+2) d y é nula, qualquer que seja a curva fechada gamma de classe C^1 por partes.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você mandou. A gente precisa mostrar que a integral de linha é igual a zero para qualquer curva fechada que seja de classe por partes. O conteúdo envolvido aqui é Cálculo Vetorial, especialmente integrais de linha e o Teorema de Green, que vamos usar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Esse teorema faz uma conexão entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada e uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Basicamente, ele diz que:
ointgamma M dx + N dy = integral duplaD (partial Npartial x - partial Mpartial y) dA
Onde e são as funções que compõem a integral de linha, e é a área dentro da curva . Se conseguirmos mostrar que em toda a região , então a integral dupla será zero, e por consequência, a integral de linha também será zero.

Passo 3

Vamos identificar M = 2x sen y + 4 e^x e N = x^2 cos y + 2 no nosso caso:
partial Npartial x = partialpartial x (x^2 cos y + 2) = 2x cos y
Agora, precisamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de partial Mpartial y = partialpartial y (2x sen y + 4 e^x) = 2x cos y + 0 = 2x cos y em relação a , ou seja, :
Observação: A derivada de em relação a é zero porque não depende de .

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença partial Npartial x - partial Mpartial y = 2x cos y - 2x cos y = 0 :

Passo 6

Como a diferença integral duplaD 0 , dA = 0 é igual a zero em toda a região , a integral dupla no Teorema de Green também será zero:
Portanto, pela aplicação do Teorema de Green, a integral de linha original também é igual a zero.

Resposta

A integral de linha é igual a zero.

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Boa Prova.