Desenhar algumas curvas de nível para as seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para desenhar algumas curvas de nível da função . As curvas de nível são basicamente linhas no plano onde a função assume sempre o mesmo valor. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e escolher alguns valores para que nos ajudem a desenhá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que são curvas de nível. Imagine que você tem uma montanha: as curvas de nível são como as linhas que conectam pontos que estão na mesma altitude. No nosso caso, a função representa a “altura” em cada ponto .

Passo 3

Para encontrar as curvas de nível, a gente escolhe alguns valores para e resolve a equação , onde é um número constante. Assim, para cada , a gente terá uma equação que define uma curva específica.

Passo 4

Vamos escolher alguns valores para . Por exemplo, vamos usar , , e .

Passo 5

Agora, vamos substituir por esses valores:
  1. Para :
    Isso significa que para , as curvas de nível são as linhas verticais e .
  2. Para :
    Aqui, as curvas de nível são as linhas verticais e .
  3. Para :
    As curvas de nível são e .
  4. Para :
    As curvas de nível são e .

Passo 6

Observamos que para cada valor de , as curvas de nível são linhas verticais no plano onde assume valores fixos positivos e negativos. Isso acontece porque nossa função não depende da variável , então pode ser qualquer valor.

Passo 7

Vamos resumir as curvas de nível que encontramos:
  • Para : e
  • Para : e
  • Para : e
  • Para : e

Resposta

As curvas de nível da função são linhas verticais nos pontos , , e para os valores de , , e respectivamente.

Exercícios relacionados

Determine o domínio da função e faça um esboço mostrando como uma região em (para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de . Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
Determine: .
Determine o domínio da função e faça um esboço mostrando como uma região em (para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de . Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
Determine o domínio da função e faça um esboço mostrando como uma região em (para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de . Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.