Desenhar algumas curvas de nível para as seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para desenhar algumas curvas de nível da função
. As curvas de nível são basicamente linhas no plano onde a função assume sempre o mesmo valor. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e escolher alguns valores para
que nos ajudem a desenhá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que são curvas de nível. Imagine que você tem uma montanha: as curvas de nível são como as linhas que conectam pontos que estão na mesma altitude. No nosso caso, a função
representa a “altura” em cada ponto
.
Passo 3
Para encontrar as curvas de nível, a gente escolhe alguns valores para
e resolve a equação
, onde
é um número constante. Assim, para cada
, a gente terá uma equação que define uma curva específica.
Passo 4
Vamos escolher alguns valores para
. Por exemplo, vamos usar
,
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos substituir
por esses valores:
-
Para
: Isso significa que para, as curvas de nível são as linhas verticais e . -
Para
: Aqui, as curvas de nível são as linhas verticaise . -
Para
: As curvas de nível sãoe . -
Para
: As curvas de nível sãoe .
Passo 6
Observamos que para cada valor de
, as curvas de nível são linhas verticais no plano
onde
assume valores fixos positivos e negativos. Isso acontece porque nossa função
não depende da variável
, então
pode ser qualquer valor.
Passo 7
Vamos resumir as curvas de nível que encontramos:
- Para
: e - Para
: e - Para
: e - Para
: e
Resposta
As curvas de nível da função
são linhas verticais nos pontos
,
,
e
para os valores de
,
,
e
respectivamente.
Exercícios relacionados
Determine o domínio da função
e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
Determine:
.
Determine o domínio da função
e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
Determine o domínio da função
e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.