Determine o domínio da função
e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir o domínio da função
e desenhar uma região no plano
que representa todos os pontos onde essa função está definida. A matéria aqui é sobre domínio de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida, ou seja, onde ela não dá problemas como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função
. Aqui, temos uma fração com uma raiz quadrada no denominador. Para a função existir, duas coisas precisam acontecer:
- O denominador não pode ser zero, porque não dá pra dividir por zero.
- O que está dentro da raiz quadrada tem que ser positivo, porque não dá pra tirar a raiz de número negativo no conjunto dos números reais.
Passo 3
Vamos transformar isso em uma condição matemática. O denominador é
, então:
- O que está dentro da raiz tem que ser maior que zero:
- Além disso, para evitar divisão por zero, a raiz não pode ser igual a zero:
Mas na verdade, se
, automaticamente não estamos igualando a zero, então a segunda condição já está inclusa na primeira.
Passo 4
Agora, vamos resolver a desigualdade:
Isso pode ser reescrito como:
Essa é a equação de um círculo com raio 1 centrado na origem. Mas como a desigualdade é estrita (<), isso significa que vamos pegar todos os pontos dentro desse círculo, mas sem incluir a borda.
Passo 5
Para desenhar isso no plano
, vamos representar a região onde
, que é um círculo aberto de raio 1. Usaremos curvas pontilhadas para indicar que a borda (onde
) não está incluída no domínio. A região interna do círculo, onde a função está definida, pode ser sombreada ou destacada de alguma forma.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem a desigualdade
.
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e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
Desenhar algumas curvas de nível para as seguintes funções.
Determine o domínio da função
e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
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e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.