Determine o domínio da função e faça um esboço mostrando como uma região em (para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de . Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir o domínio da função e desenhar uma região no plano que representa todos os pontos onde essa função está definida. A matéria aqui é sobre domínio de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida, ou seja, onde ela não dá problemas como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . Aqui, temos uma fração com uma raiz quadrada no denominador. Para a função existir, duas coisas precisam acontecer:
  1. O denominador não pode ser zero, porque não dá pra dividir por zero.
  2. O que está dentro da raiz quadrada tem que ser positivo, porque não dá pra tirar a raiz de número negativo no conjunto dos números reais.

Passo 3

Vamos transformar isso em uma condição matemática. O denominador é , então:
  1. O que está dentro da raiz tem que ser maior que zero:
  2. Além disso, para evitar divisão por zero, a raiz não pode ser igual a zero:
Mas na verdade, se , automaticamente não estamos igualando a zero, então a segunda condição já está inclusa na primeira.

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade:
Isso pode ser reescrito como:
Essa é a equação de um círculo com raio 1 centrado na origem. Mas como a desigualdade é estrita (<), isso significa que vamos pegar todos os pontos dentro desse círculo, mas sem incluir a borda.

Passo 5

Para desenhar isso no plano , vamos representar a região onde , que é um círculo aberto de raio 1. Usaremos curvas pontilhadas para indicar que a borda (onde ) não está incluída no domínio. A região interna do círculo, onde a função está definida, pode ser sombreada ou destacada de alguma forma.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem a desigualdade .

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Desenhar algumas curvas de nível para as seguintes funções.
Determine o domínio da função e faça um esboço mostrando como uma região em (para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de . Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
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