Desenhe o campo de direções associado a eda dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos o campo de direções associado à equação diferencial dada, que é
. Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais e como representar visualmente as suas soluções. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um campo de direções e como calcular as inclinações das tangentes em diferentes pontos do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo de direções. Imagine que em cada ponto do plano xy, a equação diferencial nos dá a inclinação de uma linha tangente à solução da equação naquele ponto. O campo de direções é basicamente um conjunto de pequenas linhas ou setas desenhadas em vários pontos do plano, cada uma com a inclinação determinada pela equação diferencial. Isso ajuda a visualizar como as soluções se comportam sem precisar resolver a equação.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa equação
. Aqui,
representa a derivada de y em relação a x, ou seja, a inclinação da tangente naquele ponto. A equação nos diz que a inclinação depende apenas de x e é igual a
.
Passo 4
Para desenhar o campo de direções, vamos escolher alguns valores de x e calcular as respectivas inclinações
. Por exemplo:
- Se
, então - Se
, ent��o - Se
, então - Se
, então - Se
, então
Passo 5
Com essas inclinações, vamos desenhar pequenas linhas em pontos correspondentes no plano xy. Por exemplo:
- Em
, desenhe uma linha com inclinação -4. - Em
, desenhe uma linha com inclinação -2. - Em
, desenhe uma linha horizontal (inclinação 0). - Em
, desenhe uma linha com inclinação 2. - Em
, desenhe uma linha com inclinação 4.
Repetindo isso para vários valores de x e y, teremos um campo de direções que mostra como as soluções da equação diferencial se comportam no plano.
Resposta
Desenhando as inclinações calculadas em vários pontos do plano xy, obtemos o campo de direções associado à equação diferencial
, onde as tangentes em cada ponto têm inclinação igual a duas vezes a coordenada x daquele ponto.
Exercícios relacionados
Encontre edo cuja solução geral é dada por
Encontre edo cuja solução geral é dada por
Desenhe o campo de direções da edo
. Esboce a curva integral que passa pelo ponto
.
Encontre edo cuja solução geral é dada por