Desenhe o campo de direções associado a eda dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos o campo de direções associado à equação diferencial dada, que é . Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais e como representar visualmente as suas soluções. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um campo de direções e como calcular as inclinações das tangentes em diferentes pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo de direções. Imagine que em cada ponto do plano xy, a equação diferencial nos dá a inclinação de uma linha tangente à solução da equação naquele ponto. O campo de direções é basicamente um conjunto de pequenas linhas ou setas desenhadas em vários pontos do plano, cada uma com a inclinação determinada pela equação diferencial. Isso ajuda a visualizar como as soluções se comportam sem precisar resolver a equação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa equação . Aqui, representa a derivada de y em relação a x, ou seja, a inclinação da tangente naquele ponto. A equação nos diz que a inclinação depende apenas de x e é igual a .

Passo 4

Para desenhar o campo de direções, vamos escolher alguns valores de x e calcular as respectivas inclinações . Por exemplo:
  • Se , então
  • Se , ent��o
  • Se , então
  • Se , então
  • Se , então

Passo 5

Com essas inclinações, vamos desenhar pequenas linhas em pontos correspondentes no plano xy. Por exemplo:
  • Em , desenhe uma linha com inclinação -4.
  • Em , desenhe uma linha com inclinação -2.
  • Em , desenhe uma linha horizontal (inclinação 0).
  • Em , desenhe uma linha com inclinação 2.
  • Em , desenhe uma linha com inclinação 4.
Repetindo isso para vários valores de x e y, teremos um campo de direções que mostra como as soluções da equação diferencial se comportam no plano.

Resposta

Desenhando as inclinações calculadas em vários pontos do plano xy, obtemos o campo de direções associado à equação diferencial , onde as tangentes em cada ponto têm inclinação igual a duas vezes a coordenada x daquele ponto.

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