Encontre edo cuja solução geral é dada por
Passo 1
Oi! Vamos dar uma olhada nesse exercício que pede para encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) cuja solução geral é dada por
. A gente vai precisar usar alguns conceitos básicos de cálculos diferenciais para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a solução geral que foi dada. A equação
pode ser rearranjada para expressar
em função de
:
Aqui,
é uma constante arbitrária que aparece na solução geral da EDO.
Passo 3
Para encontrar a EDO correspondente, a gente precisa relacionar
e suas derivadas. Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 4
Agora, observamos que da equação original
, podemos isolar a constante
:
Passo 5
Vamos substituir essa expressão de
na derivada que encontramos:
Passo 6
Chegamos assim à Equação Diferencial Ordinária que estávamos procurando:
Essa é a EDO cuja solução geral é
.
Resposta
A equação diferencial procurada é:
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Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.
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Desenhe o campo de direções associado a eda dada.