Encontre edo cuja solução geral é dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) cuja solução geral seja . Basicamente, vamos trabalhar com equações diferenciais e exponenciais para descobrir qual EDO tem essa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma solução geral de uma EDO. A solução geral inclui todas as possíveis soluções da equação e geralmente contém constantes arbitrárias (neste caso, e ).

Passo 3

Agora, vamos considerar a função . Nosso objetivo é encontrar a EDO que essa função satisfaz. Para isso, vamos calcular a derivada primeira de em relação a .

Passo 4

Calculando a derivada de :
Aqui, usamos a regra da derivada da função exponencial, onde a derivada de é .

Passo 5

Agora temos uma relação entre e :
Esta é uma equação diferencial simples onde a derivada de é proporcional a mesma.

Passo 6

Podemos rearranjar a equação para deixá-la igual a zero, que é uma forma comum de escrever EDOs:
Esta é a EDO cuja solução geral é .

Resposta

A Equação Diferencial Ordinária é:

Exercícios relacionados

Desenhe o campo de direções da edo . Esboce a curva integral que passa pelo ponto .
Desenhe o campo de direções associado a eda dada.
Determine a ordem das seguintes edo
Verifique cada função é uma solução da edo dada.