Encontre edo cuja solução geral é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) cuja solução geral seja
. Basicamente, vamos trabalhar com equações diferenciais e exponenciais para descobrir qual EDO tem essa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma solução geral de uma EDO. A solução geral inclui todas as possíveis soluções da equação e geralmente contém constantes arbitrárias (neste caso,
e
).
Passo 3
Agora, vamos considerar a função
. Nosso objetivo é encontrar a EDO que essa função satisfaz. Para isso, vamos calcular a derivada primeira de
em relação a
.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Aqui, usamos a regra da derivada da função exponencial, onde a derivada de
é
.
Passo 5
Agora temos uma relação entre
e
:
Esta é uma equação diferencial simples onde a derivada de
é proporcional a
mesma.
Passo 6
Podemos rearranjar a equação para deixá-la igual a zero, que é uma forma comum de escrever EDOs:
Esta é a EDO cuja solução geral é
.
Resposta
A Equação Diferencial Ordinária é:
Exercícios relacionados
Desenhe o campo de direções da edo
. Esboce a curva integral que passa pelo ponto
.
Desenhe o campo de direções associado a eda dada.
Determine a ordem das seguintes edo
Verifique cada função é uma solução da edo dada.