Encontre edo cuja solução geral é dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar a equação diferencial ordinária (EDO) cuja solução geral é dada por
. Isso envolve trabalhar com derivadas e eliminar as constantes
e
para chegar na EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos começar reescrevendo a solução geral para facilitar nossos cálculos. Elevando os dois lados ao quadrado, temos:
Isso simplifica a expressão e nos ajuda a eliminar as constantes mais tarde.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
para introduzir a derivada de
. Fazendo isso, obtemos:
Simplificando, temos:
Passo 4
Temos duas equações agora:
Nosso objetivo é eliminar as constantes
e
. Da segunda equação, podemos isolar
:
Passo 5
Vamos substituir
da equação acima na primeira equação:
Simplificando:
Agora, vamos isolar
:
Passo 6
Para eliminar
, vamos diferenciar novamente a equação
:
Aplicando a regra do produto no lado esquerdo:
Agora, substituindo
da etapa anterior:
Resposta
A equação diferencial ordinária é:
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Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.
Desenhe o campo de direções associado a eda dada.
Desenhe o campo de direções da edo
. Esboce a curva integral que passa pelo ponto
.