Encontre edo cuja solução geral é dada por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar a equação diferencial ordinária (EDO) cuja solução geral é dada por . Isso envolve trabalhar com derivadas e eliminar as constantes e para chegar na EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos começar reescrevendo a solução geral para facilitar nossos cálculos. Elevando os dois lados ao quadrado, temos:
Isso simplifica a expressão e nos ajuda a eliminar as constantes mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a para introduzir a derivada de . Fazendo isso, obtemos:
Simplificando, temos:

Passo 4

Temos duas equações agora:
Nosso objetivo é eliminar as constantes e . Da segunda equação, podemos isolar :

Passo 5

Vamos substituir da equação acima na primeira equação:
Simplificando:
Agora, vamos isolar :

Passo 6

Para eliminar , vamos diferenciar novamente a equação :
Aplicando a regra do produto no lado esquerdo:
Agora, substituindo da etapa anterior:

Resposta

A equação diferencial ordinária é:

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Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.

Desenhe o campo de direções associado a eda dada.
Desenhe o campo de direções da edo . Esboce a curva integral que passa pelo ponto .