Encontre a derivada parcial de
com respeito a
para um gás que obedece a equação de van der Waals:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos achar a derivada parcial de
em relação a
para um gás que segue a equação de van der Waals. Vamos usar cálculo diferencial para isso, especificamente a derivada parcial. Vamos precisar lembrar da equação de van der Waals e aplicar as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de van der Waals que está no enunciado:
Aqui,
é a pressão,
é o volume,
é a temperatura,
é a quantidade de substância,
é a constante dos gases, e
,
são constantes específicas do gás.
Passo 3
Nosso objetivo é achar
. Para isso, vamos isolar
na equação. Vamos começar dividindo os dois lados da equação por
:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Passo 5
Agora que temos
expresso em termos de
, podemos derivar
em relação a
. Lembre-se que
,
,
, e
são constantes nesse processo.
Passo 6
Vamos derivar termo a termo. O segundo termo,
, é constante em relação a
, então sua derivada é zero. Focamos agora na derivada do primeiro termo:
Passo 7
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
fica:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]
(i)
(i)
Ache as trajetórias ortogonais da família de elipses
e esboce alguns membros de cada família.
Considere a seguinte equação diferencial:
A equação (1) é exata? Justifique sua resposta.
Desenhe as curvas de nível e determine a imagem: