Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada por , onde e . Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenhar a imagem da superfície parametrizada pela função , com e variando entre 0 e 1. Além disso, precisamos encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto específico .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a parametrização representa. Essa função mapeia cada par para um ponto no espaço tridimensional onde a primeira coordenada é sempre 1, enquanto e variam. Isso basicamente descreve um plano paralelo ao plano , localizado em , com e variando de 0 a 1.
Passo 3
Para desenhar a imagem da superfície, imagine um retângulo no espaço tridimensional formado pelos valores de e . Como é sempre 1, esse retângulo estará totalmente no plano , variando de a .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Primeiro, identificamos as coordenadas desse ponto. Substituindo e na parametrização, temos:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície nesse ponto. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a :
A derivada parcial em relação a :
Passo 6
Com os vetores tangentes e , podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial:
Passo 7
Agora, usando o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação do plano tangente. A forma geral da equação de um plano é:
onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e é o ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: