3.0 Sejam F: R^3 -> R^3 o campo vetorial tridimensional dado por F(x, y) = x i +y j + z k e D a região delimitada pela esfera x^2 + y^2 + z^2 <= 1. Determine o fluxo de F através da superfície esférica, com normal n apontando para fora da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial tridimensional e uma região delimitada pela esfera . A tarefa é encontrar o fluxo de através da superfície esférica com a normal apontando para fora. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial para calcular fluxos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo basicamente mede a quantidade de “fluido” que passa pela superfície. Matematicamente, é calculado como a integral de superfície de , onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Para facilitar nossos cálculos, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral de volume da divergência do campo vetorial dentro dessa superfície. A fórmula é:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a divergência de , que é . A divergência mede a taxa de expansão do campo vetorial em cada ponto.
No nosso caso, , , e . Então:

Passo 5

Com a divergência calculada, vamos aplicar o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo. Precisamos calcular a integral de volume de sobre a região .

Passo 6

A integral representa o volume da esfera de raio 1. Sabemos que o volume de uma esfera é dado por:
Como o raio :

Passo 7

Agora, substituímos o volume na expressão do fluxo:

Resposta

O fluxo de através da superfície esférica é .

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