Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
h) integral-infty^1 1x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também calcula o valor dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral imprópria, como determinar sua convergência e realizar os cálculos necessários.

Passo 2

Primeiro, uma integral imprópria é aquela que envolve limites infinitos ou integra uma função que não está definida em algum ponto do intervalo de integração. No nosso caso, o limite inferior é e a função não está definida em , já que dividimos por zero.

Passo 3

Para analisar a convergência, vamos dividir a integral em duas partes: de integral-infty^1 1x^2 , dx = integral-infty^0 1x^2 , dx + integral0^1 1x^2 , dx a 0 e de 0 a 1. Assim, temos:
Vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Vamos começar com lima to -infty integrala^0 1x^2 , dx . Para resolver isso, usamos o limite:
lima to -infty [ -1x ]a^0 = lima to -infty ( -10 + 1a )
A antiderivada de é , então:
Aqui vemos que tende ao infinito, o que indica que essa parte da integral diverge.

Passo 5

Mesmo que a primeira parte já seja divergente, para completar o entendimento, vamos olhar para limb to 0^+ integralb^1 1x^2 , dx . Usamos o limite:
limb to 0^+ [ -1x ]b^1 = limb to 0^+ ( -1 + 1b ) = infty
Calculando:
Essa parte também diverge.

Resposta

Como ambas as partes da integral divergem, concluímos que a integral imprópria é divergente.

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